Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
Calculer f '(x) dans chacun des cas suivants
1) f(x) = 5 - x.
2) f(x ) = x² - 10x + 5.
3) f(x) = (7x - 2)(4 - x).
4) f(x) = -x³ + 4x² - 3x + 2.
5) f(x) = 5x³ - 15x² + 1.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = (x² - 1)(x² + 1)
1) Montrer que pour tout x∈IR on a f '(x) = 4x³ et déduire les variations de f
2) Tracer le tableau de vaeiations de f et déduire ses extremums

Correction

1) Méthode 1: Nous remarquons que f(x) s'écrit sous la forme d'une identité remarquable
Donc f(x) = (x² - 1)(x² + 1) = (x²)² - 1
ainsi f(x) = x⁴ - 1

f est un polynôme donc dérivable sur IR
ainsi pour tout x∈IR on a f '(x) = 4x³
Méthode 2: f est le produit de deux polynôme donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
f '(x) = [(x² - 1)(x² + 1)]'
= (x² - 1)'(x² + 1) + (x² - 1)(x² + 1)'
= 2x(x² + 1) + (x² - 1)(2x)
= 2x³ + 2x + 2x³ - 2x = 4x³
ainsi pour tout x∈IR on a f '(x) = 4x³
Signe de f '(x)
f '(x) = 0 ⇔ 4x³ = 0 ⇔ x = 0
f'(x) > 0 ⇔ 4x³ > 0 ⇔ x > 0

L'exposent 3 est impair donc l'inégalité ne change pas
f '(x) < 0 ⇔ 4x³ < 0 ⇔ x < 0
L'exposent 3 est impair donc l'inégalité ne change pas
Ainsi f est strictement croissante sur [0 ; +∞[
et strictement décroissante sur ]-∞ ; 0]
3) On clacule d'abord les deux limites

lim - ∞

f(x) =

lim - ∞

(x²-1)(x²+1)

=	lim - ∞	(x² - 1)	×	lim - ∞	x² + 1
=	lim - ∞	(x²)	×	lim - ∞	(x²)

= (+∞) x (+∞) = +∞

Donc

lim - ∞

f(x) =

+∞

lim + ∞

f(x) =

lim + ∞

(x²-1)(x²+1)

=	lim + ∞	(x² - 1)	×	lim + ∞	x² + 1
=	lim + ∞	(x²)	×	lim + ∞	(x²)

= (+∞) x (+∞) = +∞

Donc

lim + ∞

f(x) =

+∞

x		-∞		0		+∞
f '			-	0	+
f		+ ∞	↘	-1	↗	+ ∞

4) f ' s'annule au point 1 et change de signe de (+) à (-) donc f(0)= -1 est une valeur maximale de f dans IR ainsi -1 est un exremum de f

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

h(x) =	x² + 4
	x

1) Montrer que pour tout x∈IR*

f'(x) =	x² - 4
	x²

2) En utilisant le tableau de variations de f suivant déterminer la monotonie de f et ses extremums