Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = x³ - 3x.
1) Calculer f'(x) tel que x∈IR.
2) Etudier le signe de f ' et déduire les variations de f et tracer son tableau de variations.
3) Déduire les extrémums de f.

Correction

1) f est un polynôme donc dérivable sur IR
Soit x∈IR on a f '(x) = (x³ - 3x)'= 3x² - 3
ainsi f '(x) = 3x² - 3

2) Signe de la fonction dérivée f '
f '(x) = 0 ⇔ 3x² - 3 = 0
⇔ 3(x² - 1) = 0 ⇔ x² - 1 = 0
⇔ (x-1)(x+1) = 0
⇔ x-1 = 0 ou x+1 = 0
⇔ x=1 ou x=-1
a=3 > 0 donc

Si x∈]-∞ ; -1[ alors f '(x) > 0
Si x∈]1 ; +∞[ alors f '(x) ≥ 0

Si x∈]-1 ; 1[ alors f '(x) < 0
Donc f est strictement croissante
sur ]-∞ ; -1] et strictement croissante sur
[1 ; +∞[ et strictement décroissante sur [-1 ; 1]
3) On calcule d'abord les deux limites suivantes

3) (i) f ' s'annule au point -1 et change de signe de (+) à (-) donc f(-1)=2 est une valeur maximale dans ]-∞ ; 1[
(ii) f ' s'annule au point 1 et change de signe de (-) à (+) donc f(1)=-2 est une valeur minimale dans ]-1 ; +∞[

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = -x³ + 27x
1) Calculer f '(x) tel que x∈IR
2) Etudier le signe de f ' et déduire les variations de f et tracer son tableau de variations
3) Déduire les extrémums de f

Correction

1) f est un polynôme donc dérivable sur IR
Soit x∈IR on a f '(x) = (-x³ + 27x)'= -3x² + 27
ainsi f '(x) = -3x² + 27

2) Signe de la fonction dérivée f '
f '(x) = 0 ⇔ -3x² + 27 = 0
⇔ -3(x² - 9) = 0 ⇔ x² - 9 = 0
⇔ (x-3)(x+3) = 0
⇔ x-3 = 0 ou x+3 = 0
⇔ x=3 ou x=-3
a=-3 < 0 donc

Si x∈]-∞ ; -3[ alors f '(x) < 0
Si x∈]3 ; +∞[ alors f '(x) ≤ 0

Si x∈]-3 ; 3[ alors f '(x) > 0
Donc f est strictement décroissante
sur ]-∞ ; -3] et strictement décroissante sur
[3 ; +∞[ et strictement croissante sur [-3 ; 3]
3) On calcule d'abord les deux limites suivantes

3) (i) f ' s'annule au point -3 et change de signe de (-) à (+) donc f(-3)=-54 est une valeur minimale dans ]-∞;3[.
(ii) f ' s'annule au point 3 et change de signe de (+) à (-) donc f(3)=54 est une valeur maximale dans ]-3;+∞[.