1- Equations et inéquaions du premier degré à une inconnue

1.1 Equations du premier (rappel)

1.1.1 Définition

L'équation du premier degré à une inconnue x
s'écrit sous la forme ax+b=0 tel que a≠0 et b∈IR.

1.1.2 Exemples

Résoudre dans IR les équations suivantes
E₁: x-3=0 et E₂: 2x+4=0.

Correction
1) x-3=0 ⇔ x=3
donc l'ensemble de solutions S₁={3}.
2) 2x+4=0 ⇔ 2x=-4 ⇔ x=-2
donc l'ensemble de solutions S₂={ -2 }.

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les équations
1) 5x-3=7.
2) 2x+1=-8x+5.
3) 4(x-3)=3(4-x).

1.2 Signe de ax+b tel que a≠0

1.2.1 Exemples

Signe de x-2.
1) x-2=0 ⇔ x=2
2) x-2>0 ⇔ x>2 ⇔ x∈]2;+∞[.
3) x-2<0 ⇔ x<2 ⇔ x∈]-∞;2[.

x		-∞		2		+∞
x-2			-	0	+

Signe de -3x+9
1) -3x+9=0 ⇔ x=3.

2) -3x+9>0 ⇔ 3x<9 ⇔ x<3 ⇔ x∈]-∞;3[.
3) -3x+9<0 ⇔ 3x>9 ⇔ x>3 ⇔ x∈]3;+∞[.

x		-∞		3		+∞
-3x+9			+	0	-

1.2.2 Résultat

Soient a et b deux nombres réels tel que a≠0.

x		-∞		- b		+∞
				a
ax + b			signe -a	0	signe a

Exercice 2 tp

Etudier le signe de -3x+24.

Correction

-3x+24=0 ⇔ x=8.
Puisque a=-3<0 alors

x		-∞		8		+∞
-3x+24			+	0	-

donc -3x+24≥0 si x∈]-∞;8]
et -3x+24≤0 si x∈[8;+∞[.

1.3 Inéquations du premier degré à une inconnue (rappel)

1.3.1 Définition

L'inéquation du premier degré à une inconnue x s'écrit sous la forme
ax+b<0 ou ax+b>0 ou ax+b≤0 ou ax+b≥0 tels que a≠0 et b∈IR .

1.3.2 Exemple 1

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
2x+8<0.

Correction
1) 2x+80 ⇔ 2x=-8 ⇔ x=-4.
2) a=2>0 donc

x		-∞		-4		+∞
2x+8			-	0	+

donc 2x+8≤0 si x∈]-∞;-4]
et 2x+8≤0 si x∈[-4;+∞[.
La question posée la détermination des éléments tels que 2x+8 soit strictement négatif
et donc S=]-∞;-4[.

1.3.3 Exemple 2

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
-5x+4≤-23-2x.

Correction
1) -5x+4≤-23-2x ⇔-5x+4-(-23-2x)≤0
⇔ -5x+4+24+2x≤0 ⇔ -3x+27≤0.
2) -3x+27=0 ⇔ -3x=-27 ⇔ x=9.
3) On a=-3<0.
donc -3x+27≤0 ⇔ x∈[9;+∞[
ainsi S=[9;+∞[.