(5) المعادلات والمتراجحات والنظمات
2.3 المتراجحة من الدرجة الثانية بمجهول واحد
2.3.1 مثال 1
حل المتراجحة 25x²+10x+1>0.
تصحيح
ندرس اشارة
T(x)=25x²+10x+1
Δ=b²-4ac=10²-4.25.1=0
اذن T(x) تقبل جذرا مزدوجا.
| x1 = | -b | = | -10 | = | - 1 | = -0,2 |
| 2a | 50 | 5 |
ولها اشارة a.
بما أن a=25>0 فان (∀x∈IR)(T(x)≥0).
| x | -∞ | -0,2 | +∞ | |||
| T(x) | + | 0 | + |
لدينا المتفاوتة قطعا في المتراجحة المطروحة اذن (-0,2) لا ينتمي الى مجموعة الحلول وبالتالي
مجموعة حلول المتراجحة
S=IR\{-0,2} ويمكن ان نكتب كذلك
| S = ]-∞ ; | -1 | [∪] | -1 | +∞[ |
| 5 | 5 |
2.3.2 مثال 2
حل في IR المتراجحة 2x²-3x+1≥0.
تصحيح
T(x)=2x²-3x+1
| a = 2 | b = -3 | c = 1 |
Δ=(-3)²-4.2.1=9-8
اذن Δ=1>0 ومنه فان T(x)
تقبل جذرين مختلفين.
| x1 = | -b - √(Δ) | x2 = | - b + √(Δ) | |
| 2a | 2a | |||
| = | -(-3) - √(25) | = | -(-3) + √(25) | |
| 4 | 4 |
| x1 = | 3-5 | x2 = | 3+5 | |
| 4 | 4 | |||
| = | -1 | = | 2 | |
| 2 |
a=2>0 اذن T(x) موجبة خارج الجذرين.
| x | -∞ | -1/2 | 2 | +∞ | |||
| T(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| S = ]-∞ ; | -1 | ] ∪ [2 ; +∞[ اذن |
| 2 |
نتيجة مجموعة حلول المتراجحة 2x²-3x+1<0.
| S = ] | -1 | ; 2[ |
| 2 |
تمرين 1 tp
حل في IR المتراجحة -7x²+5x-2≥0.
تصحيح
ندرس اشارة ثلاثية الحدود
T(x)=-7x²+5x-2.
Δ=b²-4ac=5²-4.(-7).(-1)=25-28.
Δ=-3<0 اذن T(x) لا تقبل اي جذر ولها اشارة a.
لدينا a=-7<0 اذن (∀x∈IR)(T(x)<0).
المتراجحة المطلوبة هي
T(x)≥0
وبالتالي S=∅.
نتيجة
مجموعة حلول المتراجحة
-7x²+5x-1<0
S=IR.
تمرين 2 tp
حل في IR المتراجحة -2x²+3x+5≤0.
تصحيح
ندرس اشارة ثلاثية الحدود
T(x)=-5x²+3x+2.
Δ=b²-4ac=3²-4.(-5).2=49.
Δ>0 اذن T(x) تقبل جذرين مختلفين.
| x1 = | -b - √(Δ) | x2 = | -b + √(Δ) | |
| 2a | 2a | |||
| = | -3 - √(49) | = | -3 + √(49) | |
| -10 | -10 | |||
| = | - 10 | = | 4 | |
| -10 | - 10 | |||
| = | 1 | = | -2 | |
| 5 |
a=-5<0 اذن T(x) سالبة خارج الجذرين.
| x | -∞ | -2/5 | 1 | +∞ | |||
| T(x) | - | 0 | + | 0 | - |
| S = ]-∞ ; | -2 | ] ∪ [1 ; +∞[ اذن |
| 5 |
نتيجة
مجموعة حلول المتراجحة
2x²-3x+1>0
| S = ] | -2 | ; 1[ |
| 5 |