3- نظمة معادلتين من الدرجة الاولى بمجهولين

3.1 طريقة التعويض

مثال 1
حل النظمة التالية في IR×IR

{	x + 2y = 5
	4x + 5y = 17

تصحيح
x+2y=5 ⇔x=5-2y .

نعوض x في المعادلة الثانية 4x+5y=17.
4(5-2y)+5y=17 ⇔ 20-8y+5y=17
⇔ -3y=17-20 ⇔-3y=-3 ⇔ y=1 .
ثم نعوض y=1 في المعادلة x=5-2y
نحصل على x=5-2×1 اذن x=3
وبالتالي S={(3 ; 1)}.

مثال 2
حل النظمة التالية في IR×IR

{	3x - y = 14
	2x + 15y = -22

تصحيح
3x-y=14 ⇔ y=3x-14 .
نعوض y في المعادلة الثانية 2x+15y=-22.
15(3x-14)=-22+2x
⇔ 2x+45x-210=-22
⇔ 47x=-22+210 ⇔ 47x=188
⇔ 47x=47.(4) ⇔ x=4.
ثم نعوض x=4 في المعادلة y=3x-14
نحصل على y=3×4-1 اذن y=-2
وبالتالي مجموعة حلول النظمة S={(4;-2)}.

3.2.2 طريقة التآلفية الخطية

مثال
حل في IR×IR النظمة التالية

{	7x + 4y = 10	(1)
	5x + 13y = -3	(2)

تصحيح
اولا نهتم ب 4y من المعادلة (1)
وب 13y من المعادلة(2).

لدينا 13×4y+(-4)×13y=51y-51y=0.
اذن نضرب طرفي المعادلة الاولى ب 13 وطرفي المعادلة الثانية ب (-4).

نحصل اذن على

{	91x + 52y = 130
	-20x - 52y = 12

والآن نقوم بعملية جمع طرفي المعادلتين طرفا طرفا
91x+52y+(-20x-52y)=130+12
اي 71x=42 اذن x=2.

يمكن ان نعوض قيمة x=2 في احدى المعادلتين للحصول على قيمة y
نختار مثلا المعادلة (1) 7x+4y=10
اذن 7.2+4y=10 اي 4y=10-14=-4
اذن y=-1 ومنه فان S={( 2;-1)}.

ولكن يمكن ان نواصل بنفس الطريقة التي بدأنا بها وحصلنا على قيمة x.
لذلك نهتم هذه المرة ب 7x من المعادلة الاولى وب 5x من المعادلة الثانية.
لدينا -5×7x+7×5x=-35x+35x=0.

نضرب اذن طرفي المعادلة الاولى ب (-5) وطرفي المعادلة الثانية ب 7 فنحصل على

{	-35x - 20y = -50
	35x + 91y = -21

الآن نقوم بعملية جمع طرفي المعادلتين طرفا طرفا
-35x-20y+35x+91y=-50-21
اي 71y=-71 اذن y=-1 ومنه فان x=2 و y=-1
وبالتالي S={(2 ; -1)}.

حالة عامة نعتبر النظمة التالية

{	ax + by = c	(1)
	a'x + b'y = c'	(1)

لدينا اذن b'(ax+by-c)-b(a'x+b'y-c')=0
و -a'(ax+by-c)+a(a'x+b'y-c')=0.

{	(ab'-a'b)x = cb'-c'b	اذن
	(ab'-a'b)y = ac'-a'c

اذا كان ab'-a'b≠0

S = {(	cb' - c'b	;	ac' - a'c	)}
	ab' - a'b		ab' - a'b