3- Systèmes de deux équations du 1er degré à deux inconnues

3.1 Méthode de substitution

3.1.1 Exemple 1

Résoudre dans IR×IR le système suivant

{	x + 2y = 5	(1)
	4x + 5y = 17	(2)

Correction
x+2y=5 ⇔ x=5-2y.

On remplace x dans l'équation (2).
4(5-2y)+5y=17 ⇔ 20-8y+5y=17
⇔ -3y=17-20 ⇔ -3y=-3 ⇔ y=1
puis on remplace y=1 dans l'équation x=5-2y
on obtient x=5-2×1 donc x=3 ainsi S={(3 ; 1)}.

Exemple 2
Résoudre dans IR×IR le système

{	3x - y = 14
	2x + 15y = -22

Correction
3x-y=14 signifie y=3x-14.
On remplace y dans l'équation (2)
2x+15(3x-14)=-22
⇔ 2x+45x-210=-22
⇔ 47x=-22+210
⇔ 47x=188 ⇔ 47x=47×4
donc x=4.
On remplace x=4 dans l'équation y=3x-14
on obtient y=3×4-14
donc y=-2 ainsi S={(4 ; -2)}.

2.4.2 Méthode de combinaison linéaire

Exemple
Résoudre dans IR×IR le système suivant

{	7x + 4y = 10	(1)
	5x + 13y = -3	(2)

Correction
Etape 1 On s'interesse à 4y de l'équation (1) et à 13y de l'équation (2).
On a 13×4y+(-4)×13y=51y-51y=0.

On multiplie les deux membres de l'équation (1) par 13 et les deux membres de l'équation (2) par (-4).
On obtient

{	91x + 52y = 130
	-20x - 52y = 12

puis on fait la somme membre à membre de deux équations

91x+52y+(-20x-52y)=130+12
ou encore 71x=142 donc x=2.

Etape 2 On s'interesse à 7x de l'équation (1) et à 5x de l'équation (2)
on a -5×7x+7×5=-35x+35x=0.
On multiplie les deux membres de l'équation (1) par (-5) et les deux membres de l'équation (2) par 7. On obtient

{	-35x - 20y = -50
	35x + 91y = -21

On fait la somme membre à membre de deux équations.

-35x-20y+35x+91y=-50-21
ou encore 71y=-71
et donc x=-1 et y=2 alors S={(-1 ; 2)}.

Cas général
On considère le système

{	ax+by = c	(1)
	a'x+b'y = c'	(2)

Nous utilisons le tableau suivant pour les coefficients appropriés.

b'		-b
-a'		a

{	b'(ax+by-c)-b(a'x+b'y-c')= 0
	-a'(ax+by-c)+a(a'x+b'y-c')=0

⇔{	(ab'-a'b)x = cb'-c'b
	(ab'-a'b)y = a c'-a'c

Si ab'-a'b≠0

S = {(	cb'-c'b	;	ac'-a'c	)}
	ab'-a'b		ab'-a'b