Equations Inéquations Et Systèmes (5)
2.3 Inéquations du second degré à une inconnue
2.3.1 Exemple 1
Résoudre l'inéquation 25x²+10x+1>0.
Correction
Signe de T(x)=25x²+10x+1.
Δ=b²-4ac=10²-4.25.1=0 donc T(x) admet une racine double
| x1 = | -b | = | -10 | = -0,2 |
| 2a | 50 |
de plus T(x) est de signe de a=25.
On a donc ∀x∈IR on a T(x)≥0.
| x | -∞ | -0,2 | +∞ | |||
| T(x) | + | 0 | + |
ainsi l'ensemble des solutions de l'inéquation
S=IR\{-0,2} et on peut écrire S autrement
| S = ]-∞ ; | -1 | [∪] | -1 | +∞[ |
| 5 | 5 |
2.3.2 Exemple 2
Résoudre dans IR l'inéquation
2x²-3x+1≥0.
Correction
Signe de T(x)=2x²-3x+1.
Δ=b²-4ac=(-3)²-4.2.1=1.
Δ>0 alors T(x) admet deux racines
| x1 = | -b - √(Δ) | x2 = | -b + √(Δ) | |
| 2a | 2a | |||
| = | -(-3) - √(1) | = | -(-3 )+ √(1) | |
| 4 | 4 | |||
| = | 3 - 1 | = | 3 + 1 | |
| 4 | 4 |
donc x1=0,5 et x2=1.
a=2>0 donc
| x | -∞ | 0,5 | 1 | +∞ | |||
| T(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| S = ]-∞ ; | -1 | ]∪[2 ; +∞[ |
| 2 |
Résultat L'ensemble des solutions
de l'inéquation 2x²-3x +1<0
| S = ] | -1 | ; 2[ |
| 2 |
Exercice 1 tp
Résoudre dans IR l'inéquation
-7x²-5x-1≥0.
Correction
1) Signe de T(x)=-7x²-5x-1
Δ=b²-4ac=(-5)²-4.(-7).(-1)=25-28
Δ=-3<0 alors T(x) est de signe de a et n'admet aucune racine
a=-2<0 donc (∀x∈IR) T(x)<0.
2) On a T(x)<0 mais l'inéquation demandée est T(x)≥0 alors S=∅.
Résultat
L'ensemble des solutions de l'inéquation
-7x²-5x-1<0
S=IR.
Exercice 2 tp
Résoudre dans IR l'inéquation
-5x²+3x+2≤0.
Correction
Signe de T(x)=-5x²+3x+2.
Δ=b²-4ac=3²-4.(-5).2=49.
Δ>0 donc T(x) admet deux racines différentes
| x1 = | -b - √(Δ) | = | x2 = | -b + √(Δ) |
| 2a | 2a | |||
| = | -3 - √(49) | = | = | -3 + √(49) |
| -10 | -10 | |||
| = | - 10 | = | = | 4 |
| -10 | - 10 | |||
| = | 1 | = | = | -2 |
| 5 |
a=-5<0 donc
| x | -∞ | -2/5 | 1 | +∞ | |||
| T(x) | - | 0 | + | 0 | - |
| S = ]-∞ ; | -2 | ] ∪ [1 ; +∞[ |
| 5 |
Résultat
L'ensemble des solutions de l'inéquation
-5x²+3x+2>0
| S = ] | -2 | ; 1[ |
| 5 |