Exercice 1 tp

1) Résoudre dans IR l'équation
(E): -2x²+2(√2)x -1=0.
2) Résoudre dans IR l'inéquation
(I): -2x²+2(√2)x -1<0.

Correction

1) -2x²+2(√2)x -1=0

a=-2

b=2√2

c=-1

Δ=b²-4ac=(2√2)²-4(-2).(-1)=8-8

Δ=0 donc l'équation admet une solution double

x1 =	-b	=	-2√2	=	√(2)
	2a		2.(-2)		2

donc SE = {	√2	}
	2

2) -2x²+2(√2)x -1<0
On pose T(x)=-2x²+2(√2)x-1
d'après la question (1), T(x) admet une racine double x₁.

On a Δ=0 donc T(x) est de signe de a.
a=-2<0 alors (∀x∈IR) (T(x)≤0).

x		-∞		√(2)/2		+∞
T(x)			-	0	-

Puisque l'inégalité demandée dans l'inéquation strictement alors √(2)/2 est exclu
ainsi S_I=IR\{(√2)/2}.
En d'autre terme
S_I=]-∞;(√2)/2[∪](√2)/2;+∞[.

Exetcice 2 tp

1) Vérifier que (7-√2)²=51-14√2.
2) On considère l'équation (E)
(E): x²-(7+√2)x+7√2=0
Montrer que le discriminant de (E)
Δ=(7-√2)² puis résoudre (E).
3) Résoudre dans IR l'inéquation
(I): x²-(7+√2)x+7√2≤0

Correction

1) (7-√2)²=7²-2.7.(√2)+(√2)²
=49-14√2+2=51-14√2.

2) (E): x²-(7+√2)x+7√2=0.

a=1

b=-(7+√2)

c=7√2

Δ=b²-4ac (7+√2)²-4.1.7√2
=49+14√2+2-28√2
=51-14√2
=(7-√2)²
Δ>0 donc l'équation admet deux solutions

x1 =	-b-√Δ		x2 =	-b+√Δ
	2a			2a

x1 =	7+(√2)-√(7-√2)²
	2.1
=	7+(√2)-(7-√2)
	2
=	2√2
	2
=	√2

donc x1=√(2).

x2 =	7+(√2)+√(7-√2)²
	2.1
=	7+(√2)+(7-√2)
	2
x2 =	14
	2
=	7

donc x2=7.

ainsi l'ensemble des solutions de l'équation
S_E={√2;7}.
3) (I): x²-(7+√2)x+7√2≤0
a=1>0 donc T(x) est négatif à l'intérieur des racines.

x	-∞		√(2)		1		+∞
T(x)		+	0	-	0	+

ainsi l'ensemble des solutions de l'inéquation
S_I=[ √(2) ; 7].