(2) المعادلات والمتراجحات والنظمات
تمرين 1 tp
حل في IR المعادلة (E)
| 2 + x | = | -2x + 5 |
| 2 | 4 |
تصحيح
المعادلة (E) معرفة على IR
ليكن x∈IR
| 2 + x | = | -2x + 5 |
| 2 | 4 |
⇔ 4(2 + x) = 2(-2x + 5)
⇔
8 + 4x = -4x + 10
⇔ 4x + 4x = 10 - 8
⇔ 8x = 2
| ⇔ x = | 2 | = | 1 |
| 8 | 4 |
وبالتالي مجموعة حلول المعادلة
| S = { | 1 | } |
| 4 |
تمرين 2 tp
حل في IR المعادلة (E)
| x² - 4 | = 0 |
| x - 2 |
تصحيح
المعادلة (E) معرفة اذا كان x - 2 ≠ 0
أي اذا كان x ≠ 2 اذن D = IR\{2}
ليكن x∈D
| x² - 4 | = 0 |
| x - 2 |
⇔ x² - 4 = 0 و x - 2≠0
⇔
(x - 2)(x + 2) = 0 و x≠2
⇔
(x - 2 = 0 أو x + 2 = 0) و x≠2
⇔
(x = 2 أو x = -2 ) و x≠2
2 ليس حلا للمعادلة اذن x = -2
وبالتالي مجموعة حلول المعادلة
S = { -2 }
تمرين 3 tp
حل في IR المعادلة (E)
(2x + 4)(1 - 5x) = 0
تصحيح
المعادلة (E) معرفة على IR
ليكن x∈IR
للتذكير
ab = 0 ⇔ (a = 0 أو b = 0)
اذن المعادلة
(E) ⇔ (2x + 4 = 0) أو
(1 - 5x = 0)
⇔ (2x = - 4) أو
(-5x = - 1)
| ⇔ x = | -4 | أو x = | -1 |
| 2 | -5 |
| ⇔ x = -2 | أو x = | 1 |
| 5 |
وبالتالي
| S = { -2 ; | 1 | } |
| 5 |
تمرين 4 tp
ليكن x∈IR نضع p(x) = x²- 2x - 3
1) بين أن لكل x∈IR
p(x) = (x - 1)² - 4
2) حل في IR المعادلة (E): p(x) = 0
تصحيح
1) ليكن x∈IR .
p(x) = (x² - 2x) - 3
نلاحظ أن
x² - 2x = (x² - 2x + 1) - 1 = (x - 1)² - 1
اذن p(x) = (x - 1)² -1 - 3
وبالتالي p(x) = (x - 1)² - 4
المعادلة (E) معرفة على IR .
ليكن x∈IR
p(x) = 0 ⇔ (x - 1)² - 4 = 0
⇔ (x - 1)² - 2² = 0
⇔ (x - 1 - 2)(x - 1 + 2) = 0
⇔ (x - 3)(x + 1) = 0
⇔ ((x - 3) = 0 أو (x + 1) = 0)
⇔ x = 3 أو x = -1
وبالتالي S = { -1 ; 3}.