1- Droites asymptotiques

1.1 Branches infinies

1.1.1 Définition

Soient f une fonction numérique de la variable réel x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
Si l'une des coordonnées d'un point M(x;y) de la courbe (C) tend vers ∞ alors la courbe admet une branche infinie
(c'est à dire x→±∞ ou f(x)→±∞).

1.1.2 Intérprétation graphique

1) Cas (x→-∞ et f(x)→+∞).

2) Cas (y→-∞ avec y=f(x)).

1.2 Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées

1.2.1 Définition

Soient f une fonction et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→). La droite d'équation x=a est asymptote à (C), si l'une des conditions suivantes est vérifiée

lim a-	f(x) = +∞		lim a-	f(x) = -∞
lim a+	f(x) = +∞		lim a+	f(x) = -∞

1.2.2 Exemple

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	-2x + 1
	x - 1

f est définie si x-1≠0 ou encore si x≠1
donc D=]-∞;1[∪]1;+∞[.
Il y a donc quatre bornes

1-		1+
- ∞		+ ∞

Pour le moment on étudie deux cas 1^- et 1⁺.

On pose p(x)=-2x+1 et q(x)=x-1
p(1)=-2(1)+1=-1 et q(1)=1-1=0.

Pour déterminer la limite au point 1, on étudie d'abord le signe de x-1.

x		-∞		1		+∞
x - 1			-	0	+

1) Si x → 1^- alors q(x) → 0^-.

lim 1-	f(x) =	lim 1-	-2x + 1
			x - 1

On a	-1	= + ∞
	0-

donc

lim 1-

f(x) = +∞

ainsi la droite (D): x=1 est asymptote à (C) à gauche à 1.
2) Si x → 1⁺ alors q(x) → 0⁺.

-1	= - ∞	donc	lim 1+	f(x) = - ∞
0+

Ainsi la droite (D): x=1 est asymptote à (C) à droite à 1.