Etude d'une fonction numérique (8)
2.4 La fonction x→ax³+bx²+cx+d
2.4.1 Exemple 1
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x³+x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(O;i→;j→).
1) Etudier la parité de f et déduire qu'il suffit de l'étudier sur
[0;+∞[.
2) Calculer les deux limites suivantes
lim - ∞ |
f(x) | lim + ∞ |
f(x) |
3) Calculer f'(x) tel que x∈D.
4) Etudier la monotonie de f et tracer son tableau de variations.
5) Déterminer l'équation de la tangente au point 0 et tracer (C).
Correction
1) f est un polynôme donc D=IR
ainsi pour tout x∈IR on a -x∈IR.
Soit x∈IR
f(-x)=(-x)³+(-x)=-x³-x=-(x³+x).
donc pour tout x∈IR on a f(-x)=-f(x)
alors f est une fonction impaire et par conséquent la courbe (C) est symétrique par rapport à O.
Et donc il suffit d'étudier f sur l'intervalle
[0;+∞[ et est appelé Domaine réduit d'étude.
2) Limites
lim - ∞ |
f(x) | = | lim - ∞ |
x³ = - ∞ |
puisque f est impaire alors
lim + ∞ |
f(x) | = + ∞ |
Ou autrement
lim + ∞ |
f(x) | = | lim + ∞ |
x³ = + ∞ |
3) f est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit x∈IR.
f'(x)=(x³+x)'=3x²+1
donc pour tout x∈IR on a f'(x)=3x²+1.
4) Signe de f'(x).
f'(x)=0 ⇔ 3x²+1=0 ⇔ 3x²=-1
et ce n'est pas possible
donc f' ne s'annule pas.
Soit x∈IR
3x²≥0 donc 3x²+1>0
ainsi pour tout x∈IR on a f'(x)>0
f est donc strictement croissante sur IR.
Tableau de variations de f
x | -∞ | +∞ | ||
f '(x) | + | |||
f | -∞ |
↗ |
+∞ |
5) (a) f est dérivable sur IR et en particulier au point 0
donc la courbe (C) admet une tangente (T) au point d'abscisse 0 d'équation
y=f'(0)(x 0)+f(0)
On a f(x)=x³+x donc f(0)=0
et on a f'(x)=3x²+1
donc f'(0)=3.0²+1=1
ainsi (T): y=x.
(b) La courbe (C)