2.4.2 Exemple

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x³-3x+1 et (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O;i^→;j^→).
1) Déterminer D l'ensemble de définition de f.
2) Calculer les deux limites suivantes

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

3) Calculer f'(x) tel que x∈D.
4) (a) Etudier la monotonie de f.

(b) Tracer le tableau de variations de f.
(c) Déduire un extremum de f.
5) (a) Tracer (C).
(b) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=0.
(c) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=m selon les valeurs de m∈IR.

Correction
1) f est un polynôme donc D=IR.
2) Limites

lim - ∞

f(x)

=

lim - ∞

x³ = - ∞

lim + ∞

f(x)

=

lim + ∞

x³ = + ∞

3) f est un polynome donc dérivable sur IR.
Soit x∈IR
f'(x)=(x³-3x+1)'=3x²-3
donc pour tout x∈IR on a f'(x)=3x²-3.
4) (a) Signe de f'(x)
f'(x)=0 ⇔ 3x²-3=0 ⇔ 3(x²-1)=0
⇔ x²-1=0 ⇔ x²=1 ⇔
( x=-√1 ou x=√1) ⇔ (x=-1 ou x=1).

f'(x) est un trinôme et on a a=3>0

x	-∞		-1		1		+∞
f '(x)		+	0	-	0	+

Si x∈]-∞;-1[ alors f'(x)>0.
Si x∈]-1;1[ alors f'(x)<0.
Si x∈]1;+∞[ alors f'(x)>0.
f est donc strictement décroissante sur ]-∞;-1] et strictement croissante sur [1;+∞[
et strictement décroissante sur [-1;1].

(b) Tableau de variations

x	-∞		-1		1		+∞
f'(x)		+	0	-	0	+
f'	-∞	↗	3	↘	-1	↗	+∞

(c) f' s'annule en -1 et change de sigbe de (+) à (-) donc f(-1)=3 est une valeur maximale.
f' s'annule en 1 et change de sigbe de (-) à (+) donc f(1)=-1 est une valeur minimale.

5) (a) La courbe (C).

(b) Equation f(x)=0.
La courbe (C) coupe l'axe (Ox) en trois points d'abscisses réspéctivement a ; b et c
-2<a<-1 ; 0<b<1 et 1<c<2
ainsi l'équation admet trois solutions.
(c) Equation f(x)=m.
On considère les droites (D_m): y=m
ces droites sont parallèles à l'axe des abscisses.

Si m<-1 alors (D) coupe (C) en un seul point donc l'équation admet une seul solution.
Si m=-1 alors (D) coupe (C) en deux points donc l'équation admet deux solutions -2 et 1.
Si -1<m < 3 alors (D) coupe (C) en trois points donc l'équation admet trois solutions.
Si m=3 alors (D) coupe (C) en un deux points donc l'équation admet deux solutions -1 et 2.
Si m>3 alors (D) coupe (C) en un seul point donc l'équation admet une seule solution.