2.4.2 مثال 2

لتكن f دالة عددية ذات المتغير x معرفة كما يلي
f(x)=x³-3x+1 و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→).
1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f.
2) احسب النهايتين التاليتين

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

3) احسب f'(x) حيث x∈D وادرس رتابة الدالة f.
4) وانشئ جدول تغيرات f واستنتج مطرافا لها.

5) (a) انشئ (C).
(b) حل مبيانيا المعادلة f(x)=0.
(c) حل مبيانيا المعادلة f(x)=m حيث m∈IR.

تصحيح
1) لدينا f حدودية اذن D=IR.
2) حساب النهايات

lim - ∞	f(x)	=	lim - ∞	x³ = - ∞
lim + ∞	f(x)	=	lim + ∞	x³ = + ∞

3) f حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=(x³-3x+1)'=3x²-3
اذن لكل x∈IR لدينا f'(x)=3x²-3.
اشارة f'(x)
f'(x)=0 ⇔ 3x²-3=0 ⇔ 3(x²-1)=0
⇔ x²-1=0 ⇔ x²=1
⇔ (x=-√1 أو x=√1) ⇔ (x=-1 او x=1).
f'(x) هي ثلاثية الحدود ولدينا a=3>0

x	-∞		-1		1		+∞
f '(x)		+	0	-	0	+

اذا كان x∈]-∞;-1[ فان f'(x)>0.
اذا كان x∈]-1;1[ فان f'(x)<0.
اذا كان x∈]1;+∞[ فان f'(x)>0 اذن f تزايدية قطعا على ]-∞;-1] وتزايدية قطعا على [1;+∞[
و f تناقصية قطعا على [-1;1].
4) جدول التغيرات

x	-∞		-1		1		+∞
f'(x)		+	0	-	0	+
f'	-∞	↗	3	↘	-1	↗	+∞

الدالة المشتقة f' تنعدم في -1 وتتغير اشارتها من + الى - اذن الدالة f تقبل قيمة قصوى f(-1)=3.
الدالة المشتقة f' تنعدم في 1 وتتغير اشارتها من - الى + اذن الدالة f تقبلقيمة دنيا f(1)=-1 .

5) (a) منحنى الدالة f.

(b) حلول مبيانية للمعادلة f(x)=0
يكفي تحديد افاصيل نقط تقاطع المنحنى مع محولر الافاصيل.
المنحنى (C) يقطع محور الافاصيل في ثلاث نقط افاصيلها على التوالي a و b و c حيث
-2<a<-1 و 0<b<1 و 1<c<2.
(c) لحل مبيانيا f(x)=m
نعتبر المستقيمات (D) y=m موازية لمحور الافاصيل حيث m∈IR.
اذا كانت m<-1 فان (D) يقطع المنحنى في نقطة واحدة اذن المعادلة تقبل حلا واحدا.

اذا كانت m=-1 فان (D) يقطع المنحنى في نقطتين اذن المعادلة تقبل حلين -2 و 1
اذا كانت -1<m<3 فان (D) يقطع المنحنى في ثلاث نقط اذن المعادلة تقبل ثلاثة حلول.
اذا كانت m=3 فان (D) يقطع المنحنى في نقطتين اذن المعادلة تقبل حلين -1 و 2
اذا كانت m>3 فان (D) يقطع المنحنى في نقطة واحدة اذن المعادلة تقبل حلا واحدا.