2.4 الدوال x→ax³+bx²+cx+d

2.4.1 مثال 1

لتكن f دالة عددية ذات المتغير x معرفة كما يلي
f(x)=x³+x و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم (O;i^→;j^→).
1) ادرس زوجية الدالة f واستنتج انه يكفي دراستها على المجال [0;+∞[.
2) احسب النهايتين التاليتين

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

3) احسب f'(x) حيث x∈D.
4) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها.
5) (a) حدد معادلة المماس للدالة f عند النقطة 0.
(b) انشئ (C).

تصحيح
1) لدينا f حدودية اذن D=IR
ومنه فان لكل x∈IR لدينا -x∈IR. ليكن x∈IR
f(-x)=(-x)³+(-x)
=-x³-x =-(x³+x)
اذن لكل x∈IR لدينا f(-x)=f(x)
وهذا يعني أن الدالة f فردية.

f دالة فردية اذن منحنى الدالة f مماثل بالنسبة لأصل المعلم O وبالتالي يمكن دراسة الدالة على المجال [0;+∞[ ويسمى حيز المختصر للدراسة.
2) حساب النهايات

lim - ∞

f(x)

=

lim - ∞

x³ = - ∞

وبما أن f دالة فردية فان

lim + ∞

f(x)

= + ∞

ويمكن الاجابة باستعمال الخاصية

lim + ∞

f(x)

=

lim + ∞

x³ = + ∞

3) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR.
ليكن x∈IR لدينا
f'(x)=(x³+x)'=3x²+1
اذن لكل x∈IR لدينا f'(x)=3x²+1.
4) اشارة f'(x).
f'(x)=0 ⇔ 3x²+1=0 ⇔ 3x²=-1
وهذا غير ممكن اذن المشتقة f' لا تنعدم.

ليكن x∈IR.
3x²≥0 اذن 3x²+1>0
ومنه فان لكل x∈IR لدينا f'(x)>0.
اذن f تزايدية قطعا على IR.

جدول التغيرات

x		-∞		+∞
f '(x)			+
f		-∞	↗	+∞

5) (a) الدالة f قابلة للاشتقاق على IR وبالخصوص في 0
اذن منحنى الدالة f يقبل مماسا (T) في النقطة 0 معادلته تكتب على الشكل
y= f'(0)(x-0)+f(0).
لدينا f(x)=x³+x اذن f(0)=0
ولدينا f'(x)=3x²+1
اذن f'(0)=3.0²+1=1
ومنه فان معادلة المماس (T): y=x.

(b) منحنى الدالة f.