Etude des fonctions (2)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = | -2x + 1 |
x - 1 |
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i→ ; j→)
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Calculer les limites suivantes
lim 1- |
f(x) | lim 1+ |
f(x) |
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
3) Déduire les asymptotes de la courbe (C)
Correction
1) f est définie si x-1≠ 0 ou encore si x≠1
donc D = ]-∞ ; 1[∪]1 ; +∞[
2) Limite de f en 1- et 1+
On pose p(x) = -2x + 1 et q(x) = x - 1
p(1) = -2(1) + 1 = -1 et q(1) = 1 - 1 = 0
Pour déterminer la limite au point 1 on étudie d'abord le signe de x - 1
x | -∞ | 1 | +∞ | |||
x - 1 | - | 0 | + |
1) Si x → 1- alors q(x) → 0-
lim 1- |
f(x) = | lim 1- | -2x + 1 |
x - 1 |
On a
-1 | = + ∞ |
0- |
donc | lim 1- |
f(x) = +∞ |
2) Si x → 1+ alors q(x) → 0+
-1 | = - ∞ | Donc | lim 1+ |
f(x) = - ∞ |
0+ |
LImite de f en -∞ et +∞
lim -∞ | f(x) = | lim -∞ | - 2x | = -2 |
x |
lim +∞ | f(x) = | lim +∞ | - 2x | = -2 |
x |
3) Rappel Pour déterminer les asymptotes de (C) on doit connaitres les bord de D
1- | 1+ | |
- ∞ | + ∞ |
Il y a quatre bords pour D
On a | lim 1- |
f(x) = +∞ |
Donc la droite (D): x = 1 est asymptote à (C) à gauche à 1
Et on a également
lim 1+ |
f(x) = - ∞ |
Donc la droite (D): x = 1 est asymptote à (C) à droite à 1
On a
lim -∞ |
f(x) = -2 |
Donc la droite (D'): y = -2 est asymptote à (C) au voisinage de -∞
Et on a également
lim +∞ |
f(x) = -2 |
Donc la droite (D'): y = -2 est asymptote à (C) au voisinage de +∞
![asymptotes](../img/hyperbole7.png)