Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	4x + 5
	x + 2

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i^→ ; j^→)
1) Déterminer D ensemble de définition de f
2) Calculer les limites suivantes

lim (-2)-

f(x)

lim (-2)+

f(x)

lim -∞

f(x)

lim +∞

f(x)

3) Déduire les asymptotes de la courbe (C)

Correction

1) f est définie si x + 2 ≠ 0 ou encore si x ≠ -2
donc D = ]-∞ ; -2[ ∪ ]-2 ; +∞[

2) Limite de f en (-2)^- et (-2)⁺

On pose p(x) = 4x + 5 et q(x) = x + 2
p(1) = 4(-2) + 5 = -3 et q(-2) = -2 + 2 = 0

Pour déterminer la limite au point -2 on étudie d'abord le signe de x+2

x		-∞		-2		+∞
x + 2			-	0	+

1) Si x → (-2)^- alors q(x) → 0^-

lim (-2)-	f(x) =	lim (-2)-	4x + 5
			x + 2

On a	-3	= + ∞
	0-

donc

lim (-2)-

f(x) = +∞

2) Si x → (-2)⁺ alors q(x) → 0⁺

-3	= - ∞	Donc	lim (-2)+	f(x) = - ∞
0+

LImite de f en -∞ et en +∞

lim -∞	f(x) =	lim -∞	4x	= 4
			x

lim +∞	f(x) =	lim +∞	4x	= 4
			x

3) Rappel Il y a quatre bord du domaine D

(-2)-		(-2)+
- ∞		+ ∞

On a

lim (-2)-

f(x) = +∞

Donc la droite (D): x = -2 est asymptote à (C) à gauche à -2

Et on a également

lim (-2)+

f(x) = - ∞

Donc la droite (D): x = -2 est asymptote à (C) à droite à -2

On a

lim -∞

f(x) = -2

Donc la droite (D'): y = -2 est asymptote à (C) au voisinage de -∞

Et on a également

lim +∞

f(x) = -2

donc la droite (D'): y = -2 est asymptote à (C) au voisinage de +∞.