Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	2x - 1
	x - 1

et C) sa courbe dans un repère orthonormé
(O;i^→;j^→)
1) Déterminer D ensemble de définition de f

2) Calculer les limites suivantes

lim - ∞	f(x)		lim + ∞	f(x)
lim 1-	f(x)		lim 1+	f(x)

et déduire les asymptotes de (C)
3) (a) Calculer f '(x) tel que x∈D et étudier la monotonie de f
(b) Tracer le tableau de variations de f 4) Tracer les deux asymptotes et la courbe (C)

Correction

1) f est définie si x-1 ≠ 0 ou encore si x ≠ 1
donc D = IR\{1} = ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[
2) Limites et adymptotes

lim -∞	f(x) =	lim -∞	2x	= 2
			x

Et cela signifie que (C) admet une asymptote d'équation y=2 au voisinage de -∞

lim +∞	f(x) =	lim +∞	2x	= 2
			x

Et cela signifie que (C) admet une asymptote d'équation y=2 au voisinage de +∞

2) On étudie d'abord le signe de x - 1 au voisinage de 1
On pose p(x) = 2x - 1 et q(x) = x - 1
p(1) = 2(1) - 1 = 1

x		-∞		1		+∞
x - 1			-	||	+

Si x → 1^- alors q(x) → 0^-

lim 1-	f(x)	=	1	= - ∞
			0-

Ainsi (D): x = 1 est une asymptote à (C) à gauche à 1
Si x → 1⁺ alors q(x) → 0⁺

lim 1+	f(x)	=	1	= + ∞
			0+

Ainsi (D): x = 1 est une asymptote à (C)à droite à 1

4) f est une fonction rationnelle donc dérivable sur D . Soit x∈D

f '(x) =	2(x-1) - (2x-1)(1)
	(x-1)²
=	2x - 2 - 2x + 1
	(x-1)²

Ainsi pour tout x∈D on a

f ' (x) =	-1
	(x - 1)²

Signe de f '(x)
On a -1 < 0 et (x-1)² > 0
donc (∀x∈IR \{1}) on a f '(x) < 0
et cela signifie que f est strictement décroissante sur ]-∞ ; 1[ et strictement décroissante aussi sur ]1 ; +∞[
Tableau de variations de f

x		-∞			1			+∞
f '(x)			-		||		-
f		2	↘	-∞	||	+∞	↘	2

5) Pour tracer la courbe (C), il suffit de sélectionner quelques images des abscisses convenables pour connaitre l'allure de (C)