Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)= x³ + x
et C) sa courbe dans un repère orthonormé
(O;i^→;j^→)
1) Etudier la parité de f et déduire qu'il suffit d'étudier f sur [0 ; +∞[
2) Calculer les deux limites suivantes

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

3) Calculer f '(x) tel que x∈D
4) Etudier la monotonie de f et tracer le tableau de variations de f
5) (a) Déterminer l'équation de la tangente au point 0
(b) Tracer (C)

Correction

1) f est un polynôme donc D = IR
ainsi pour tout x∈IR on a -x∈IR
Soit x∈IR
f(-x) = (-x)³ + (-x)
= -x³ - x = -(x³ + x)

Donc pour tout x∈IR on a f(-x) = -f(x)
alors f est une fonction impaire et par conséquent la courbe (C) est symétrique par rapport à O
Et donc il suffit d'étudier f sur l'intervalle [0 ; +∞[ , et est appelé Domaine réduit d'étude
2) Limites

lim - ∞

f(x)

=

lim - ∞

x³ = - ∞

Puisque f est impaire alors

lim + ∞

f(x)

= + ∞

Ou autrement

lim + ∞

f(x)

=

lim + ∞

x³ = + ∞

3) f est un polynôme donc dérivable sur IR
Soit x∈IR
f '(x) = (x³ + x)' = 3x² + 1
donc pour tout x∈IR on a f '(x) = 3x² + 1
4) Signe de f '(x)
f '(x) = 0 ⇔ 3x² + 1 = 0 ⇔ 3x² = -1
Et ce n'est pas possible donc f ' ne s'annule pas

Soit x∈IR
3x² ≥ 0 donc 3x² + 1 > 0
ainsi pour tout x∈IR on a f '(x) > 0
f est donc strictement croissante sur IR
Tableau de variations de f

x		-∞		+∞
f '(x)			+
f		-∞	↗	+∞

5) (a) f est dérivable sur IR en particulier au point 0
donc la courbe (C) admet une tangente (T) au point d'abscisse 0 d'équation
y = f '(0)(x - 0) + f(0)
On a f(x) = x³ + x donc f(0) = 0
et on a f '(x) = 3x² + 1
donc f '(0) = 3.0² + 1 = 1
ainsi (T): y = x

(b) La courbe (C)