تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية ذات المتغير x معرفة كما يلي
f(x)= x³ -3x + 1
و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم
(O ; i^→ ; j^→)
1) حدد D مجموعة تعريف الدالة f
2) احسب النهايتين التاليتين

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

3) احسب f '(x) حيث x∈D

4) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها واستنتج مطرافا لها
5) (a) انشئ (C)
(b) حل مبيانيا المعادلة f(x) = 0
(c) حل مبيانيا المعادلة f(x) = m جيث m∈IR

تصحيح

1) لدينا f حدودية اذن D = IR
2) حساب النهايات

lim - ∞	f(x)	=	lim - ∞	x³ = - ∞
lim + ∞	f(x)	=	lim + ∞	x³ = + ∞

3) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR لدينا
f '(x) = (x³ -3x + 1)' = 3x² - 3
اذن لكل x∈IR لدينا f '(x) = 3x² - 3
4) اشارة f '(x)
f '(x) = 0 ⇔ 3x²-3 = 0 ⇔ 3(x²-1) = 0
⇔ x²-1 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔
(x = -√1 أو x=√1) ⇔ (x=-1 او x=1)
f '(x) هي ثلاثية الحدود ولدينا a = 3 >0

x	-∞		-1		1		+∞
f '(x)		+	0	-	0	+

اذا كان x∈]-∞ ; -1[ فان f '(x) > 0
اذا كان x∈]-1 ; 1[ فان f '(x) < 0
اذا كان x∈]1 ; +∞[ فان f '(x) > 0 اذن f تزايدية قطعا على ]-∞ ; -1] وتزايدية قطعا على [1 ; +∞[
و f تناقصية قطعا على [-1 ; 1]
جدول التغيرات

x	-∞		-1		1		+∞
f'(x)		+	0	-	0	+
f'	-∞	↗	3	↘	-1	↗	+∞

الدالة المشتقة f ' تنعدم في -1 وتتغير اشارتها من + الى - اذن الدالة f تقبل قيمة قصوى f(-1) = 3
الدالة المشتقة f ' تنعدم في 1 وتتغير اشارتها من - الى + اذن الدالة f تقبلقيمة دنيا f(1) = -1

5) (a) منحنى الدالة f
لرسم المنحنى (C) يكفي تعيين قيم افاصيل مناسبة لبعض نقط المنحنى

(b) حلول مبيانية للمعادلة f(x) = 0
يكفي تحديد افاصيل نقط تقاطع المنحنى مع محولر الافاصيل
المنحنى (C) يقطع محور الافاصيل في ثلاث نقط افاصيلها على التوالي a و b و c حيث
-2 < a < -1 و 0 < b < 1 و 1 < c < 2
(c) لحل مبيانيا f(x) = m
نعتبر المستقيمات (D) y = m موازية لمحور الافاصيل حيث m∈IR
اذا كانت m < -1
فان (D) يقطع المنحنى في نقطة واحدة اذن المعادلة تقبل حلا واحدا

اذا كانت m = -1
فان (D) يقطع المنحنى في نقطتين اذن المعادلة تقبل حلين -2 و 1
اذا كانت -1 < m < 3
فان (D) يقطع المنحنى في ثلاث نقط اذن المعادلة تقبل ثلاثة حلول
اذا كانت m = 3
فان (D) يقطع المنحنى في نقطتين اذن المعادلة تقبل حلين -1 و 2
اذا كانت m > 3
فان (D) يقطع المنحنى في نقطة واحدة اذن المعادلة تقبل حلا واحدا.