تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية ذات المتغير x معرفة كما يلي
f(x)= x³ + x
و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم
(O ; i^→ ; j^→)
1) ادرس زوجية الدالة f واستنتج انه يكفي دراسة الدالة على المجال [0 ; +∞[
2) احسب النهايتين التاليتين

lim - ∞

f(x)

lim + ∞

f(x)

3) احسب f '(x) حيث x∈D
4) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
5) (a) حدد معادلة المماس للدالة f عند النقطة 0
(b) انشئ (C)

تصحيح

1) لدينا f حدودية اذن D = IR
ومنه فان لكل x∈IR لدينا -x∈IR
ليكن x∈IR
f(-x) = (-x)³ + (-x)
= -x³ - x = -(x³ + x)
اذن لكل x∈IR لدينا f(-x) = f(x)
وهذا يعني أن الدالة f فردية اذن منحنى الدالة f مماثل بالنسبة لأصل المعلم O

وبالتالي يمكن دراسة الدالة على المجال [0 ; +∞[ ويسمى حيز المختصر للدراسة

2) حساب النهايات

lim - ∞

f(x)

=

lim - ∞

x³ = - ∞

وبما أن f دالة فردية فان

lim + ∞

f(x)

= + ∞

ويمكن الاجابة باستعمال الخاصية

lim + ∞

f(x)

=

lim + ∞

x³ = + ∞

3) f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR
ليكن x∈IR لدينا
f '(x) = (x³ + x)' = 3x² + 1
اذن لكل x∈IR لدينا f '(x) = 3x² + 1
4) اشارة f '(x)
f '(x) = 0 ⇔ 3x² + 1 = 0 ⇔ 3x² = -1
وهذا غير ممكن
اذن المشتقة f ' لا تنعدم
ليكن x∈IR
3x² ≥ 0 اذن 3x² + 1 > 0
ومنه فان لكل x∈IR لدينا f '(x) > 0
اذن f تزايدية قطعا على IR

جدول التغيرات

x		-∞		+∞
f '(x)			+
f		-∞	↗	+∞

5) (a) الدالة f قابلة للاشتقاق على IR وبالخصوص في 0
اذن منحنى الدالة f يقبل مماسا (T) في النقطة O
معادلته تكتب على الشكل
y = f '(0)(x - 0) + f(0)
لدينا f(x) = x³ + x اذن f(0) = 0
ولدينا f '(x) = 3x² + 1
اذن f '(0) = 3.0² + 1 = 1
ومنه فان معادلة المماس (T): y = x

(b) منحنى الدالة f
لرسم المنحنى (C) يكفي تعيين قيم افاصيل مناسبة لبعض نقط المنحنى