Généralités sur les fonctions numériques (1)
1- Rappel et compléments
1.1 Fonction numérique et représentation graphique
1.1.1 Définition
Soient E et F deux ensembles non nuls dans IR.
Une fonction numérique f définie de E vers F est une relation qui lie chaque élément x de E par un élément au plus de F, appelé s'il existe image de x par f.
E est appelé ensemble de départ.
F est appelé ensemble d'arrivé.
x est appele variable réel de la fonction f et f(x) son image.
1.1.2 Ensemble de définition d'une fonction
Soit f une fonction numérique de la variable x.
L'ensemble des nombres réels qui admettent une image par f est appelé ensemble de définition de f, noté Df ou D.
Notons que x∈D ⇔ f(x)∈IR.
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = | 1 |
x-3 |
Déterminer l'ensemble de définition de f.
Correction
f est appelée fonction rationnelle donc elle est définie si son dénominateur est non nul.
x-3=0 ⇔ x=3.
3 n'admet pas d'image par f
ainsi D=IR\{3}=]-∞;3[∪]3;+∞[.
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = | 1 |
x² - 3x - 10 |
Déterminer l'ensemble de définition de f.
Correction
f est une fonction rationnelle donc elle est définie si son dénominateur est non nul.
On résout donc l'équation
x²-3x-10=0.
a = 1 | b = -3 | c = -10 |
Δ=b²-4ac=(-3)²-4.1.(-10)=9+40.
Δ=49>0 donc l'équation admet deux solutions différentes
x1 = | -b - √(Δ) | x2 = | - b + √(Δ) | |
2a | 2a | |||
= | -(-3) - √(49) | = | -(-3) + √(25) | |
2.1 | 2.1 |
= | 3-7 | = | 3+7 | |
2 | 2 | |||
= | -2 | = | 5 |
donc D=IR\{-2;5}=]-∞;-2[∪]-2;5[∪]5;+∞[.
Fonction polynôme du second ordre
La fonction numérique f de la variable x qui s'écrit sous la forme f(x)=ax²+bx+c tel que a≠0 est appelée fonction polynôme du second ordre et D=IR.
1.1.3 Interprétation graphique d'une fonction
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
(O;i→;j→).
Soit f une fonction numérique et D son ensemble de définition.
L'ensemble des points M(x;f(x)) du plan tels que x∈D et y=f(x) est appelé courbe représentative de la fonction f, notée (Cf) ou (C).
![courbe](../img/courbe.png)