تمرين 1 tp

لتكن f دالة عددية لمتغير حقيقي x بحيث
f(x) = -2x²+3
1) ادرس زوجية الدالة f
2) ادرس رتابة f على IR⁺ ثم على IR^-
3) انشئ جدول تغيرات f
4) استنتج مطرافا للدالة f.

تصحيح

1) f حدودية اذن D = IR
ومنه فان لكل x∈IR لدينا (-x)∈IR

ليكن x∈IR
f(-x) = -2(-x)² + 3 = -2x² + 3 = f(x)
وبالتالي f دالة زوجية
2) ليكن x;y ∈IR⁺ حيث x<y
اذن x² < y² أي -2x² > -2y²
أي -2x² + 3 > -2y² + 3 أي f(x) > f(y)
وهذا يعني أن الدالة f تناقصية قطعا على IR⁺
الدالة f وبما ان f زوجية وتناقصية قطعا على IR⁺ فانها تزايدية قطعا على IR^-

3) جدول تغيرات f

x		-∞		0		+∞
f			↗	3	↘

4) لدينا f تزايدية قطعا على ]-∞ ; 0] وتناقصية قطعا على [0 ; +∞[ اذن f(0) = 3 قيمة قصوى للدالة f على IR اذن 3 مطراف للدالة f عند 0

تمرين 2 tp

لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x) = - 2x² + 8x
1) بين ان لكل x∈IR فان f(x) = -2(x-2)² + 8
2) بين ان f(2) قيمة قصوى للدالة f
3) ادرس تغيرات الدالة f على ]-∞ ; 2] ثم على [2 ; +∞[
4) انشئ جدول تغيرات f
5) يستغل مزارع في العام x هكتار من اراضيه في منتوج فلاحي ويتم تحديد الدخل السنوي بالآلاف الدولارات بالدالة العددية g بحيث g(x) = 4f(x)

ما هو عدد الهكتارات من اراضيه التي ينبغي استغلالها لتحقيق اقصى ربح ممكن سنويا ?

تصحيح

1) D = IR=]-∞ ; +∞[ ليكن x∈IR
f(x) = -2(x²-4x) = -2(x²-2.2x+2²-2²)
= -2((x-2)² - 4)
ومنه فان f(x) = -2(x-2)² + 8

2) f(2) = 8 ليكن x∈IR
f(x)-f(2) = -2(x-2)² ≤ 0
وهذا يعني ان f(2) = 8 قيمة قصوى للدالة f
3) تغيرات الدالة f
ليكن x;y∈IR بحيث x ≠ y
ندرس اشارة معدل التغير T(x ; y)

T(x ; y) =	f(x) - f(y)
	x - y

نحسب أولا f(x)-f(y)
f(x)-f(y)=-2(x-2)²+8-(-2(y-2)²+8)
=-2(x-2)²+2(y-2)²=2((y-2)²-(x-2)²)
=2(y-2-x+2)(y-2+x-2)
=-2(x-y)(x+y-4)
اذن بعد الاختزال ب x-y نحصل على
T(x;y)=-2(x+y-4)

اذا كان x;y∈[2;+∞[ فان x≥2 و y≥2
ومنه فان x+y>4 اي x+y-4>0
أي -2(x+y-4)<0
وبالتالي f تناقصية قطعا على [2;+∞[
اذا كان x;y∈]-∞;2] فان x≤2 و y≤2
ومنه فان x+y < 4 اي x+y-4 < 0
أي -2(x+y-4)>0 (المتفاوتة قطعا لان x≠y)

وبالتالي f تزايدية قطعا على ]-∞;2]
4) جدول تغيرات f

x	-∞		2		+∞
f		↘	8	↗

5) ليكن x عدد الهكتارات التي يستغلها المزارع سنويا
بما ان الدخل يتم تحديده بواسطة الدالة g فانه يكون قصويا عند القيمة القصوى للدالة g
لدينا لكل x∈IR فان f(x)≤8 اذن 4f(x)≤32 ومنه فان g(2)=32 (بالالف) وبالتالي ينبغي استغلال هكتارين للحصول على 32000 دولارا اقصى دخل ممكن في السنة.