Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = -2x²+3
1) Etudier la parité de f
2) Etudier la monotonie de f sur IR⁺ puis sur IR^-
3) Tracer le tableau de variations de f
4) Déduire un extremum de f.

Correction

1) f est un polynôme donc D = IR
donc (∀x∈IR) on a (-x)∈IR.
Soit x∈IR
f(-x)=-2(-x)²+3=-2x²+3=f(x)
donc f est une fonction paire
2) Soient x;y ∈IR⁺ tel que x<y
donc x²<y² ⇔ -2x²>-2y²
⇔ -2x²+3>-2y²+3 ⇔ f(x)>f(y)
et cela signifie que f est strictement décroissante sur IR⁺

La fonction f est paire et strictement décroissante sur IR⁺ donc f est strictement croissante sur IR^-
3) Tableau de variations de f

x		-∞		0		+∞
f			↗	3	↘

4) f est strictement décroissante sur IR^-
et strictement décroissante sur IR⁺
donc f(0) = 3 est une valeur maximale de f sur IR ainsi 3 est un extremum de f

Exercice 2 tp

(I) Soit f une fonction numérique définie par
f(x) = - 2x² + 8x
1) Montrer que pour tout x∈IR
f(x) = -2(x-2)²+8
2) Montrer que f(2) est une valeur maximale de f
3) Etudier les variations de f sur ]-∞ ; 2] puis sur [2 ; +∞[

4) Tracer le tableau de variations de f
(II) 2) Un agriculteur exploite x hectares de sa terre dans un produit agricole chaque année, et le revenu est déterminé chaque année en milliers de dollars par la fonction numérique g définie par g(x) = 4f(x)
Combien d'hectares faut-il exploiter pour obtenir le maximum de profit possibe annuellement ?

Correction

(I) 1) D = IR = ]-∞;+∞[
Soit x∈IR
f(x) = -2(x²-4x)
=-2(x²-2.2x+2²-2²) =-2((x-2)²-4)
ainsi f(x) = -2(x-2)²+8
2) f(2) = 8 soit x∈IR
f(x)-f(2) = -2(x-2)² ≤ 0
cela signifie que f(2)=8 est une valeur maximale de f

3) variations de f
soient x;y∈IR tel que x < y
on étudie le signe de f(x)-f(y)
f(x)-f(y) = -2(x-2)²+8 - (-2(y-2)²+8)
= -2(x-2)²+2(y-2)²
= 2((y-2)²-(x-2)²)
= 2(y-2-x+2)(y-2+x-2)
donc f(x)-f(y) = 2(y-x)(x+y-4)

Si x;y ∈[2;+∞[ alors x ≥2 et y≥2
ainsi x+y > 4 ou encore x+y-4 > 0 (1)
et puisque x < y alors y-x > 0 (2)
d'après (1) et (2) on obtient f(x)-f(y) > 0
et par conséquent f est strictement croissante sur [2;+∞[
Si x;y ∈]-∞;2] alors x ≤2 et y≤2
ainsi x+y < 4 ou encore x+y-4 < 0 (1) (l'inégaité est stricte car x≠y)
Puisque x < y alors y-x > 0 (2)
d'après (1) et (2) on obtient f(x)-f(y) < 0
et par conséquent f est strictement décroissante sur ]-∞;2]

4) Tableau de variations de f

x	-∞		2		+∞
f		↘	8	↗

(II) Soit x le nombre d'hectares exploiter par an
puisque le revenu est déterminer par g alors il atteint son maximum au maximum de g
on a (∀x∈IR) on a f(x)≤8.
donc 4f(x) ≤ 32 ainsi g(2)=32 alors il faut exploiter 2 hectares pour obtenir le profit maximun de 32000 $ annuellement.