(3) نهاية دالة عددية
2- نهاية منتهية ونهاية غير منتهية عند نقطة
2.1 نهاية غير منتهية عند نقطة
2.1.1 تعريف 1
لتكن f دالة عددية و a∈IR.
اذا كانت f تؤول الى +∞ عندما x يؤول الى a نكتب
lim x→a |
f(x) = + ∞ |
2.1.2 تعريف 2
لتكن f دالة عددية و a∈IR.
اذا كانت f تؤول الى -∞ عندما x يؤول الى a نكتب
lim x→a |
f(x) = - ∞ |
2.1.3 مثال 1
lim 0 |
1 | = + ∞ |
| x² |
2.1.4 مثال 2
lim 3 |
1 | = ? |
| (x-3)² |
نوضع t=x-3 مع أخذ بعين الاعتبار القيمة التي تأخذها t
اذا كان x→3 فان t→0.
lim 3 |
1 | = | lim (t→0) |
1 | = | + ∞ |
| (x-3)² | t² |
lim 3 |
1 | = +∞ اذن |
| (x-3)² |
2.2 نهاية منتهية عند نقطة
2.2.1 مثال
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
| f(x) = | x²-1 |
| x-1 |
اتمم الجدول التالي
| x | 0,9 | 0,99 | 1 | 1,01 | ||
| f(x) | .. | .. | .. | .. |
نتائج 1∉Df اذن لكل x≠1 لدينا
| f(x) = | x²-1 | = | (x-1)(x+1) |
| x-1 | x-1 |
اذن لكل x≠1 لدينا f(x)=x+1.
f غير معرفة عند 1 ولكن يمكن حساب صور بعض القيم المجاورة للعدد 1 ونتظنن نهاية الدالة.
نهاية هذه الدالة عند 1 هي 2.
lim x→1 |
f(x) = | lim x→1 |
x+1 = 2 |
2.2.2 تعريف
لتكن f دالة عددية و a∈IR.
اذا كانت f(x) تؤول الى العدد L عندما x يؤول الى a نكتب
lim x→a |
f(x) = L | أو نكتب | lim a |
f(x) = L |
ونقرأ نهاية f عند a تساوي L
2.2.3 خاصية
لتكن f دالة عددية و a∈IR.
lim a |
f(x) = L ⇔ | lim a |
(f(x)-L) = 0 |
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
| f(x) = | x²-25 |
| x+5 |
بين ان لكل x≠-5 لدينا f(x)=x-5.
ثم احسب النهاية التالية
lim -5 |
f(x) |
تصحيح
لدينا
| x²-25 | = | (x-5)(x+5) |
| x+5 | x+5 |
اذن اذا كان x≠-5 فان f(x)=x-5 ومنه فان
lim x→-5 |
f(x) = | lim x→-5 |
(x-5) = - 10 |