(4) نهاية دالة عددية
3- نهاية منتهية ونهاية غير منتهية عند + ∞ وعند - ∞
3.1 نهاية منتهية عند +∞ وعند -∞
3.1.1 تعريف
لتكن f دالة عددية.
اذا كانت f(x) تؤول الى L عندما x يؤول الى + ∞ نكتب
lim x→+∞ |
f(x) = L | أو نكتب | lim +∞ |
f(x) = L |
3.1.2 تعريف
لتكن f دالة عددية.
اذا كانت f(x) تؤول الى L عندما x يؤول الى - ∞ نكتب
lim x→- ∞ |
f(x) = L | أو نكتب | lim - ∞ |
f(x) = L |
امثلة
lim -∞ | 1 | = 0 | lim -∞ | 1 | = 0 | |
| x | x² |
3.1.3 خاصية
lim ±∞ |
f(x) = L | ⇔ | lim ±∞ |
f(x)-L = 0 |
lim a |
f(x) = L | ⇔ | lim a |
f(x)-L = 0 |
مثال
احسب
lim +∞ |
-3 + | 1 |
| x² |
تصحيح
نضع
| f(x) = | -3 + | 1 |
| x² |
lim +∞ |
f(x) - (-3) = | lim +∞ |
1 | = 0 |
| x² |
اذن
lim +∞ |
f(x) = -3 |
3.2 نهاية غير منتهية عند +∞ وعند -∞
3.2.1 تعريف 1
لتكن f دالة عددية.
اذا كانت f(x) تؤول الى + ∞ عندما x يؤول الى + ∞
نكتب
lim +∞ |
f(x) = + ∞ |
ونقرأ نهاية f عند + ∞ هي + ∞.
3.2.2 تعريف 2
لتكن f دالة عددية.
اذا كانت f(x) تؤول الى - ∞ عندما x يؤول الى + ∞ نكتب
lim +∞ |
f(x) = - ∞ |
ونقرأ نهاية f عند + ∞ هي - ∞
وبالمثل عند -∞.
امثلة
lim +∞ |
x² = +∞ | lim -∞ |
x³ = -∞ |
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة بما يلي
f(x)=5+x³.
احسب
lim +∞ |
f(x) |
تصحيح
لدينا
lim +∞ |
f(x) - 5 = | lim +∞ |
x³ = + ∞ |
(لانهاية زائد 5 هو لانهاية ) اذن
lim +∞ |
f(x) = +∞ |