(7) نهاية دالة عددية
5.2 نهاية دوال حدودية ونهاية دوال جدرية
5.2.1 تعاريف وأمثلة
ليكن x عددا حقيقيا و p دالة عددية تكتب على أحد الاشكال التالية
1) p(x)=ax+b وتسمى حدودية من الدرجة
الأولى.
مثال p(x)=3x+5.
2) p(x)=ax²+bx+c وتسمى حدودية من الدرجة الثانية.
مثال p(x)=5x²+2x+7.
3) p(x=ax³+bx²+cx+d وتسمى حدودية من الدرجة الثالثة.
مثالp(x)=2x³-3x²+x-5.
4) نقول ان f دالة جذرية اذا كانت معرفة كما يلي
| f(x) = | p(x) |
| q(x) |
حيث p(x) و q(x) حدوديتين
أمثلة
| f(x) = | 2x + 5 | g(x) = | -3x² + 7x +1 | |
| x-3 | x²-1 |
5.2.2 النهاية عند نقطة a
لتكن p(x) و q(x) حدوديتين و a∈IR و q(a)≠0.
lim a |
p(x) = p(a) | (1 |
lim a |
p(x) | = | p(a) | (2 |
| q(x) | q(a) |
أمثلة
lim 2 |
x³-x²+10=2³-2²+10 = 14 | (1 |
lim -5 |
x²-1=(-5)²-1 = 24 | (2 |
3) لتكن h دالة عددية بحيث
| h(x) = | 2x-1 |
| 3x+2 |
lim 4 |
h(x) | = | 2.4-1 | = | 7 | (14≠0) |
| 3.4+2 | 14 |
lim 4 |
h(x) = | 1 | اذن |
| 2 |
5.2.3 النهاية عند ±∞
خاصية
لتكن p(x) حدودية من الدرجة n
lim +∞ |
p(x) = | lim +∞ |
(axn) |
lim -∞ |
p(x) = | lim -∞ |
(axn) |
مثال 1
lim +∞ |
5x²-7x+8 = | lim +∞ |
5x² = +∞ |
مثال 2
lim +∞ |
-4x²+7x+1 = | lim +∞ |
-4x² = -∞ |
مثال 3
lim -∞ |
x³+5x² - x + 7 = | lim -∞ |
(x³) = -∞ |
مثال 4
lim -∞ |
-2x³+x = | lim -∞ |
(-2x³) = -(-∞) = +∞ |
5.2.3 خاصيات
لتكن p(x) حدودية من الدرجة n (axn هو الحد اكبر درجة للحدودية p(x))
ولتكن q(x) حدودية من الدرجة m (bxm هوالحد اكبر درجة للحدودية q(x)).
lim +∞ |
p(x) | = | lim +∞ |
axn |
| q(x) | bxm | |||
lim -∞ |
p(x) | = | lim -∞ | axn |
| q(x) | bxm |
مثال 1
lim -∞ |
4x+3 | = | lim -∞ |
3x | = | 3 |
| 7x-2 | 7x | 7 |
مثال 2
lim +∞ |
3x-1 | = | lim +∞ |
3x |
| 4x²+5x | 4x² | |||
| = | lim +∞ |
3 | = | 3 |
| 4x | 4(+∞) |
lim +∞ |
3x-1 | = 0 | اذن |
| 4x²+5x |