(6) نهاية دالة عددية
5- العمليات على النهايات
5.1 خاصيات ونهاية الدوال الحدودية والجذرية
5.1.1 خاصيات 1
لتكن f و g دالتين تقبلان نهاية منتهية عند a و k∈IR.
lim a |
f(x)+g(x) = | lim a |
f(x) | + | lim a |
g(x) |
lim a |
f(x)×g(x) = | lim a |
f(x) | × | lim a |
g(x) |
lim a |
k×f(x) | = k × | lim a |
f(x) |
| فان | lim a |
g(x)≠0 | اذا كان |
lim a |
f(x) | = | lim a |
f(x) |
| g(x) | lim a |
g(x) |
أمثلة
1) لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=2x+x³.
lim 2 |
f(x)= | lim 2 |
2x | + | lim 2 |
x³ |
lim 2 |
f(x) = 2.2+2³ = 12 |
2) لتكن g دالة عددية معرفة كما يلي
g(x)=-4x(1+x²).
lim 1 |
g(x) = -4( | lim 1 |
x | × | lim 1 |
1 + x² |
lim 1 |
g(x) = -4.1(1+1)=-8 اذن |
3) لتكن h دالة عددية معرفة كما يلي
| h(x) = | -3 + x |
| 2x |
lim 4 |
h(x) احسب |
lim 4 |
h(x) = | lim 4 |
-3 + x |
lim 4 |
2x | ||
| = | -3 + 4 | = | 1 |
| 8 | 8 |
اذن
lim 4 |
h(x) = | = | 1 |
| 8 |
5.1.2 خاصيات 2
نهاية المجموع
lim a |
f(x) | lim a |
g(x) | lim a |
(f(x)+g(x)) |
| L | +∞ | +∞ | |||
| +∞ | +∞ | +∞ | |||
| -∞ | -∞ | -∞ | |||
| +∞ | -∞ | ╳ | |||
| -∞ | +∞ | ╳ | |||
╳ يعني شكل غير محدد.
نهاية الجذاء
lim a |
f(x) | lim a |
g(x) | lim a |
(f(x).g(x)) | ||
| L < 0 | -∞ | +∞ | |||||
| L > 0 | +∞ | +∞ | |||||
| +∞ | +∞ | +∞ | |||||
| +∞ | -∞ | -∞ | |||||
| 0 | +∞ | ╳ | |||||
| -∞ | -∞ | +∞ | |||||
نهاية الخارج
lim a |
f(x) | lim a |
g(x) | lim a |
f(x) | ||
| g(x) | |||||||
| L > 0 | 0+ | +∞ | |||||
| L > 0 | 0- | -∞ | |||||
| ± ∞ | ± ∞ | ╳ | |||||
| +∞ | 0+ | +∞ | |||||
| 0 | 0 | ╳ | |||||
الخاصيات السابقة تبقى صحيحة عندما x→±∞.