(7) حساب النهايات
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | 2x + 3 |
| x+5 |
1) حدد Df وبين ان
| ∀x∈Df: f(x) = 2 + | -7 |
| x+5 |
2) احسب
lim (-5)+ |
f(x) | و | lim (-5)- |
f(x) |
تصحيح
1) D = ]-∞ ; -5[∪]-5 ; +∞[ ليكن x∈D
| f(x) = | 2x + 10 -10 + 3 |
| x+5 |
| = | 2(x+5) | - | 7 |
| x+5 | x+5 |
اذن لكل x∈D لدينا
| f(x) = 2 - | 7 |
| x+5 |
مقام الدالة f ينعدم في -5 اذن لحساب نهاية f عند -5 ينبغي دراسة اشارة المقام x + 5
| x | -∞ | -5 | +∞ | ||
| x+5 | - | 0 | + |
اذا كان x→(-5)+ فان x∈]-5 ; +∞[ اذن
lim (-5)+ |
f(x) - 2 = | lim (-5)+ |
-7 | = | -7 |
| x+5 | 0+ |
lim (-5)+ |
f(x) = - ∞ | اذن |
اذا كان x→(-5)- فان x∈]-∞;-5[ اذن
lim (-5)- |
f(x)-2 = | lim (-5)- |
-7 | = | -7 |
| x+5 | 0- |
lim (-5)- |
f(x) = + ∞ | اذن |
وبما أن
lim (-5)- |
f(x) ≠ | lim (-5)+ |
f(x) |
فان الدالة f ليست لها نهاية عند -5
تمرين 2 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | x² + 3x + 2 |
| x - 2 |
1) حدد D وبين ان لكل x∈D لدينا f(x) = x + 1
2) احسب
lim 2 |
f(x) |
تصحيح
1) f دالة جذرية معرفة اذا كان x-2≠0 أي x≠2
ومنه فان D = ]-∞ ; 2[∪]2 ; +∞[
ليكن x∈D
نضع T(x) = x² - 3x + 2
T(2) = 0 اذن 2 حل للمعادلة T(x) = 0
لتعميل T(x) نبحت عن الحل الثاني باستعمال المميز Δ
Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4.2 = 1 > 0
اذن المعاذلة تقبل حلين
| x1= | -b - √(Δ) | x2= | -b + √(Δ) | |
| 2a | 2a |
| x1= | -(-3) - √(1) | x2= | -(-3) + √(1) | |
| 2.1 | 2.1 | |||
| = | 2 | = | 4 | |
| 2 | 2 |
اذن x1 = 1 و x2 = 2
T(x) = a(x-x1)(x-x2) = (x-1)(x-2)
ومن فان لكل x∈D لدينا
| f(x) = | (x-1)(x-2) |
| x-2 |
أي f(x) = x - 1
lim 2 |
f(x) = | lim 2 |
x - 1 | = 2 -1 |
وبالتالي
lim 2 |
f(x) = 1 |