2- المكممات

2.1 المكمم الوجودي

2.1.1 مثال

نعتبر دالة عبارية p(x): x∈IR/ x²-1=0 نضيف الى هذا التعبير الكلمات يوجد على الأقل فيصبح التعبير
يوجد على الاقل عنصر x من IR بحيث x²-1=0 هذه الصيغة صحيحة منطقية اذن عبارة منطقية
نعوض كلمة يوجد بالرمز ∃ وبالتالي الدالة العبارية p(x) تصبح عبارة منطقية اذا كتبت على الشكل التالي
(∃x∈IR): x²-1=0.

2.1.2 تعريف

لتكن p(x) دالة عبارية ذات المتغير x.
الكتابة ∃x∈IR / p(x) تمثل عبارة منطقية وتقرأ
يوجد على الاقل عنصر x من IR بحيث p(x).

الرمز ∃ يسمى المكمم الوجودي ويقرأ يوجد.

ملاحظة
اذا كان وجود x وحيدا نضيف علامة التعجب الى الرمز
نكتب ∃!x∈IR / p(x).

أمثلة
1) ∃!x∈IR / x+1 = 1 عبارة منطقية صحيحة
(الحل الوحيد x=0).
2) ∃!x∈IR / x²=4 عبارة خاطئة لأن يوجد عددان
( x=2 و x=-2).

2.2 المكمم الكوني

2.2.1 مثال 1

لتكن p(x): x∈IR/ x²≥0 دالة عبارية ذات المتغير x.
نضيف الى التعبير كلمة لكل أو مهما يكن فيصبح التعبير
لكل x من IR لدينا x²≥0 وهو تعبير صحيح اذن عبارة منطقية صحيحة.
نعوض كلمة لكل بالرمز ∀ وبالتالي الدالة العبارية p(x) تصبح عبارة منطقية اذا كتبت على الشكل التالي
∀x∈IR / p(x).

2.2.2 تعريف

لتكن p(x) دالة عبارية ذات المتغير x.
الكتابة ∀x∈IR / p(x) تمثل عبارة منطقية وتقرأ
مهما يكن x من IR لدينا p(x).
الرمز ∀ يسمى المكمم الكوني ويقرأ كذلك لكل.

ملاحظة
لتكن p(x;y) دالة عبارية ذات متغيرين x و y.
1) اذا أضفنا مكمما واحدا على متغير واحد فان الكتابة التي نحصل عليها ليست عبارة متطقية
∀x∈IR/ p(x;y) لازالت دالة عبارية ذات المتغير y.

وأيضا الكتابة ∃y∈IR/ p(x;y) لازالت دالة عبارية ذات المتغير x.
2) اذا وضعنا مكممين متساويين أومختلفين على المتغيرين فان الكتابة التي نحصل عليها عبارة منطقية
∀x∈IR)(∃y∈IR)/ p(x ; y) عبارة منطقية.
وأيضا التعبير ∀x∈IR)(∀y∈IR)/ p(x ; y) عبارة منطقية.
3) تموضع المكممات من نفس النوع ليس له اي تاثير على قيمة حقيقة الخاصية
(∀x)(∀y) = (∀y)(∀x).

أمثلة
1) يوجد عدد حقيقي x ويوجد عدد حقيقي y
بحيث x+y=3
عبارة منطقية صحيحة ويمكن كتابتها على الشكل
(∃x∈IR)(∃y∈IR) / x+y=3.
ونفس العبارة اذا كتبناها على الشكل
(∃y∈IR)(∃x∈IR) / x+y=3.
قلنا عبارة منطقية صحيحة لأن يكفي وضع
(x=1) و (y=2) المتساوية 1+2=3 صحيحة.

2) مهما يكن عدد حقيقي x يوجد عدد طبيعي n
بحيث n>x.
ونكتب (∀p∈IN)(∃n∈IN) / n>p
عبارة منطقية صحيحة يكفي وضع
n=p+2 و p+2>p.
في هذه الحالة اذا غيرنا وضعية المكممين نحصل على عبارة منطقية أخرى
(∃n∈IN)(∀p∈IN)/ n>p
عبارة منطقية خاطئة لانه يكفي وضع
p=n+5 و n ليس اكبر من n+5.