3.4 Raisonnement par équivalence

Soient p et q deux propositions logiques.
Pour prouver l'équivalence p⇔q, une ou plusieurs autres propositions sont souvent utilisées.
(p⇔u) et (u⇔v) et (v⇔q)
on déduit l'équivalence p⇔q.

Exemple
Résoudre dans IR
l'équation x⁴-1=0.

Correction
x⁴-1=0 ⇔ (x²)²-(1²)²=0
⇔ (x²-1²)(x²+1²)=0
⇔ x²-1²=0 ou x²+1²=0
⇔(x-1)(x+1)=0, (x²+1²=0 n'a pas de solution dans IR)
⇔ x-1=0 ou x+1=0
⇔ x=1 ou x=-1
donc S={-1 ; 1}.

Remarque
Il existe des cas qu'il suffit de donner un contre exemple pour répondre à une question, et c'est ce qu'on appelle le raisonnement par un contre exemple.

Exemple
Soit f une fonction définie par: f(x)=x²+2x.
Montrer que f n'est pas paire.

Correction
Pour montrer qu'une fonction f n'est pas paire, il suffit de donner un contre exemple.
Si x=1 alors f(1)=1²+2.1=3
et f(-1)=(-1)²+2(-1)=1-2=-1
donc f(-1)≠f(1)
alors f n'est pas paire.