Exercice 1 tp

Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes
1) (4 = 3 × 1) ∨ (5 < 7 )
2) (8 est négatif) ∨ (7 est pair)
3) (2 est pair ) ou (5 > 3).

Correction

A savoir (ou) = (∨)
1) (4 = 3 × 1) ∨ (5 < 7 ) est une proposition vraie
car l'une des proposition est vraie (5 < 7)
2) (8 est négatif) ∨ (7 est pair) est une proposition fausse.

Car les deux propositions sont fausses
3) (2 est pair) ou (5 > 3) est une proposition vraie
car les deux propositions sont vraies

Exercice 2 tp

Déterminer la valeur de vérités de chacune des propositions suivantes
1) (10=8+10 ⇒ 2>10)
2) (8=4+4 ⇒ 2²=7)
3) (2 > 10 ⇒ 100=3)
4) (2∈IN ⇒ 2∈IR)

Correction

1) (10=8+10 ⇒ 2>10) est une proposition vraie car la première est fausse
2) (8=4+4 ⇒ 2²=7) est une proposition fausse car la première est vraie et la deuxième est fausse
3) (2 > 10 ⇒ 100=3) est une proposition vraie car la première est fausse
4) (2∈IN ⇒ 2∈IR) est une proposition vraie car la deuxième est vraie

Exercice 3 tp

Déterminer la valeur de vérités de chacune des propositions suivantes
1) (10=8+10 ⇔ 2>10)
2) (8=4+4 ⇔ 2²=7)
3) (2 < 10 ⇔ 100=10²)
4) (ab = 0) ⇔ (a = 0) ∨ (b = 0)
5) (ab = 0) ⇔ (a = 0) ∧ (b = 0)

Correction

1) (10=8+10 ⇔ 2>10) est une proposition vraie car les deux propositions sont fausses

2) (8=4+4 ⇔ 2²=7) est une proposition fausse car la première est vraie et la deuxième est fausse
3) (2 < 10 ⇔ 100=10²) est une proposition vraie car les deux propositions sont vraies
4) (2∈IN ⇒ 2∈IR) est une proposition vraie car la deuxième est vraie
4) (ab = 0) ⇔ (a = 0) ∨ (b = 0) est une proposition vraie car c'est une loi logique
5) (ab = 0) ⇔ (a = 0) ∧ (b = 0) est une proposition fausse
contre exemple 2.0 = 0 ⇎ 2 = 0 ∧ 0 = 0

Exercice 4 tp

Ecrire les propositions suivantes en utilisant les quantificateurs et déterminer leurs valeurs de véritées
1) Il existe un nombre réel x et il existe un nombre réel y tel que x + y = 3
2) Pour tout nombre réel x il existe un entier
naturel n tel que n > x

Correction

1) Il existe un nombre réel x et il existe un nombre réel y tel que x + y = 3 est une proposition vraie

On peut l'écrire comme suit
(∃x∈IR)(∃y∈IR) / x + y = 3 Ou bien
(∃y∈IR)(∃x∈IR) / x + y = 3
On a dit c'est une proposition vraie il suffit de poser
(x = 1) et (y = 2) l'égalité 1 + 2 = 3 est vraie
2) Pour tout nombre réel x il existe un entier naturel n
tel que n > x et on peut l'écrire comme suit
(∀p∈IN)(∃n∈IN) / n > p
c'est une proposition vraie il suffit de poser
n=p+2 et p+2 > p.

Dans ce cas si on change l'emplacement des quantificateurs on obtient une autre proposition
∃n∈IN)(∀p∈IN)/ n > p
et c'est une proposition fausse car il suffit de poser
p=n+5 et n, n'est pas supérieur à n+5.