1- Les suites numériques

1.1 Définition et Vocabulaires

1.1.1 Définition

Soit I l'ensemble des élements de N supérieurs ou égaux à un certain entier naturel p<.br> Une suite numérique est une application définie sur I, notée (u_n)_n≥p ou (u_n)_n∈I ..

1.1.2 Vocabulaires

Le nombre u_n est appelé le terme général de la suite (u_n)_n∈I et le nombre u_p est le premier terme de la suite.

1.1.3 Exemples

Exemple 1
Soit (u_n)_n≥1 une suite définie par
(∀n≥1): u_n=1+n.
Déterminer le 1er terme et le 3ième terme de la suite (u_n)_n≥1.

Correction
Le 1er terme u₁=1+1=2
donc u₁=2
le 3ième terme u₃=1+3=4
donc u₃=4.

1.1.4 Exemple 2

Soit (u_n)_n≥0 une suite définie par
(∀n≥0): u_n=n²+4n-5.
Déterminer le 1er ; le 2ième et le 3ième terme de la suite (u_n).

Correction
Remarquons que l'indice commence par 0 (important)
Le 1er terme n'est pas u₁ mais plutot u₀.
u₀=0+4×0-5=-5
donc u₀=-5.
Le 2ième terme
u₁=1²+4×1-5=0
donc u₁=0.

Le 3ième terme
u₂=2²+4×2-5=7
donc u₂=7.

1.2 Suites récurrentes

1.2.1 Définition

Une suite est récurente si chacun de ces termes est lié aux précédents.

1.2.2 Exemple

Soit (u_n) une suite numérique définie par
u_n+1=2u_n-7 tels que n∈IN et u₀=4.
Calculer le 2ième ; le 3ième et le 5ième terme de la suite (u_n).

Correction
Le premier terme u₀=4.
1) Le deuxième terme est donc
u₁=u₀₊₁
=2u₀-5=2.4-7=1
donc u₁=1.
2) Le troisième terme
u₂=u₁₊₁
=2u₁-7=2.1-7
donc u₂=-5.

3) Le 5ième terme
u₄=u₃₊₁
=2u₃-7
On calcule d'abord u₃
u₃=u₂₊₁
=2u₂-7
=2.(-5)-7=-17
donc u₄=2.(-17)-7=-41.