2.2 الحد العام لمتتالية حسابية

2.2.1 تقديم

لتكن (u_n) متتالية حسابية اساسها r و u₀ حدها الاول
اذن u_n+1=u_n+r ومنه فان

نجمع طرفي المتساويات طرفا طرفا وبعد الاختزال نحصل على
u_n=u₀+nr.

2.2.2 خاصية

لتكن (u_n) متتالية حسابية حدها الاول u₀ واساسها r.
الحد العام للمتتالية (u_n) معرف كما يلي
u_n=u₀+nr.

مثال
لتكن (u_n) متتالية حسابية حدها الاول u₀=7 واساسها 4 احسب u₂₀₂₁.

تصحيح
(u_n) متتالية حسابية اذن u_n = u₀+nr
ومنه فان u₂₀₂₁=7+2021.4
اذن u₂₀₂₁=8091.

2.2.3 خاصية

لتكن (u_n)_n≥p متتالية حسابية اساسها r
الحد العام u_n=u_p+(n-p)r حيث n≥p

ملاحظة
اذا كان u₁ هو الحد الاول فان u_n=u₁+(n-1)r.

مثال
لتكن (u_n)_n≥1 متتالية حسابية حدها الاول u₁=10 واساسها 5.
احسب الحد u₂₀₂₂.

تصحيح
المتتالية (u_n)_n≥1 متتالية حسابية حدها الاول u₁
اذن u₂₀₂₂=u₁+(2022-1)r.
أي u₂₀₂₂=10+2021.5
وبالتالي u₂₀₂₂=10115.

تمرين 1 tp

لتكن (u_n) متتالية حسابية
بحيث u₂₅=1000 و u₃₀=1250
احسب اساس المتتالية (u_n).

تصحيح

المتتالية (u_n)_n≥0 متتالية حسابية حدها الاول u₀
اذن u_n=u_p+(n-p)r حيث 0 <p<n.
u₃₀=u₂₅+(30-25)r
اذن u₃₀=u₂₅+5r.

u₃₀=u₂₅+5r. ⇔ 1250=1000+5r
⇔ 5r=1250-1000
⇔ 5r=250
وبالتالي r=50.