(6) المتتاليات العددية
2.4.3 ثلاث حدود متتابعة من متتالية حسابية
اذا كانت a و b و c ثلاث حدودد متتابعة من متتالية حسابية فان a+c=2b.
| b = | a + c | أي |
| 2 |
مثال
8 و 20 و 32 ثلاث حدودد متتابعة من متتالية حسابية اساسها 12 لان
32+8=2.20.
تمرين 1 tp
لتكن (un) متتالية حسابية بحيث u0=17
و u87=2018.
1) حدد أساس المتتالية (un).
2) اكتب un بدلالة n.
3) احسب S=u0+u1+..+un.
تصحيح
1) (un) متتالية حسابية اذن
un=u0+n.r
ومنه فان u87=u0+87.r.
أي 2018=17+87.r
أي 87.r=2018-17=2001
اذن r=23.
2) (un) متتالية حسابية اذن
un=u0+n.r
ومنه فان un=17+23n.
3) عدد حدود S
n-0+1=n+1.
| S = | n + 1 | (u0 + un) |
| 2 |
| = | n + 1 | (17 + 17 + 23n) |
| 2 |
يعني
| S = | n + 1 | (34 + 23n) |
| 2 |
وبالتالي
| S = | n + 1 | (34 + 23n) |
| 2 |
تمرين 2 tp
لتكن (un)n≥1 متتالية حسابية أساسها 2 و u1=7.
1) احسب u15.
2) احسب S=u1+u2+..+u15.
تصحيح
1) (un)n≥1 متتالية حسابية اذن un=u1+(n-1).r
ومنه فان u15=7+14.2
اذن u15=35.
2) 15-1+1=15 عدد حدود S.
| S = | 15 | (u1+u15) = | 15 | (2 + 35) |
| 2 | 2 |
| = | 15 x 37 | |
| 2 |
| S = | 555 | وبالتالي |
| 2 |
تمرين 3 tp
لتكن (un) متتالية حسابية
بحيث u2012=45 و u2022=115.
1) احسب u2008.
2) احسب S=u2008+u2009+..+u2021.
تصحيح
1) أولا نحدد الأساس r
لدينا u2022=u2012+(2022-2012)r
أي 115=45+10r
أي
10r=70 اذن r=7.
ثانيا نحسب u2008.
لدينا u20022=u2008+(2022-2008)r
أي 115=u2008+14×7
اذن u2008=115-98=17.
2) للتذكير اذا كانت (un)n≥p متتالية حسابية فان
| up+up+1+..+un = | (n-p+1) | (up+un) |
| 2 |
لدينا u2021=u2022-7=108
| S = | (2021 - 2008 + 1) | (u2008 + u2021) |
| 2 | ||
| = | 14 | (17 + 108) |
| 2 |
وبالتالي S=7×125=875.