3- المتتاليات الهندسية

3.1 مثال وتعريف

3.1.1 مثال

اتمم الجدول

الحدود 2 و 10 و 50 و .. هي حدود لمتتالية ترجعية بحيث كل حد منها يساوي الحد السابق مضروب في العدد 5.

نقول ان هده الحدود هي لمتتالية هندسية أساسها 5.

3.1.2 تعريف

لتكن (u_n)_n∈I متتالية عددية حيث I⊂IN.
نقول ان (u_n)_n∈I متتالية هندسية اذا كانت تكتب
على الشكل u_n+1=q.u_n حيث n∈I.
العدد q يسمى اساسا المتتالية.
يكون الحد الأول للمتتالية عددا حقيقيا a.

تمرين 1 tp

احسب الحد الثاني والثالث لمتتالية هندسية اساسها 3 وحدها الاول 1.

تصحيح

نرمز مثلا للحد الاول ب u₀ (يمكن اعتبار u₁ كحد اول ).
1) لدينا u₀=1 نحسب u₁
نعلم ان u_n+1=qu_n اذن u₁=qu₀
اي u₁=3.1 ومنه فان u₁=3.

2) الحد الثالث u₂
u₂=qu₁ اي u₂=3.3=9
ومنه فان u₂=9.
3) الحد الخامس u₄
u₄=qu₃ نحسب أولا u₃
u₃=qu₂ اي u₃=3.9=27
اذن u₄=3.27
وبالتالي الحد الخامس u₄=81.

تمرين 2 tp

احسب اساس متتالية هندسية حدها الاول 4 وحده الثاني 20.

تصحيح

نرمز مثلا للحد الاول ب u₁
لدينا اذن u₁=4 والحد الثاني u₂=20
نعلم ان u₂=qu₁
اذن 20=4q
ومنه فان q=5

3.2 الحد العام لمتتالية هندسية

3.2.1 تقديم

لتكن (u_n)_n≥0 متتالية هندسية اساسها q وحدها الاول u₀
اذن u_n+1=qu_n ومنه فان

هذه المرة نضرب طرفي المتساويات طرفا طرف وبعد الاختزال نحصل على النتيجة التالية u_n=u₀qⁿ.

3.2.2 خاصية

لتكن (u_n) متتالية هندسية حدها الاول u₀ واساسها q.
الحد العام للمتتالية (u_n) هو العدد u_n=u₀qⁿ.

ملاحظة
اذا كان u₁ هو الحد الاول فان u_n = u₁q^n-1.

3.2.3 خاصية

لتكن (u_n)_n≥p متتالية هندسية اساسها q
u_n=u_pq^n-p.

تمرين 3 tp

لتكن (u_n) متتالية هندسية
اساسها 2 وحدها الاول u₀=7
احسب u₅.

تصحيح

(u_n) متتالية هندسية اذن u_n=u₀qⁿ
ومنه فان u₅=7.2⁵
وبالتالي u₅=224.