تمرين 1 tp

لتكن (u_n)_n∈IN متتالية عددية معرفة كما يلي

{	un+1 = 2un+1	; n∈IN
	u0 = 3

نعتبر متتالية (v_n)_n∈IN معرفة كما يلي
v_n = u_n+1
1) احسب v₀
2) بين ان (v_n) متتالية هندسية يجب تحديد اساسها

3) حدد v_n بدلالة n
4) استنتج u_n بدلالة n

تصحيح

1) لدينا v_n = u_n + 1
اذن v₀ = u₀ + 1 = 3 + 1 = 4
2) نبين ان (v_n) متتالية هندسية لذلك نحسب v_n+1
لدينا v_n = u_n + 1 اذن v_n+1 = u_n+1 + 1
يعني v_n+1 =(2u_n+1) + 1 = 2(u_n + 1)
وبما ان u_n + 1 = v_n فان v_n+1 = 2v_n
وهذا يعني ان (v_n) متتالية هندسية
اساسها q = 2 وحدها الاول v₀ = 4

3) نحدد v_n بدلالة n
بما ان (v_n) متتالية هندسية
فان v_n = v₀qⁿ
اذن v_n = 4.2ⁿ
4) بما ان v_n = u_n + 1 فان u_n = v_n - 1
وبالتالي u_n = 4.2ⁿ - 1.

تمرين 2 tp

لتكن (u_n)_n≥1 متتالية معرفة كما يلي

{	un+1 = -3un + 4	; n∈IN
	u1 = 3

نعتبر المتتالية (v_n)_n≥1 المعرفة كما يلي
v_n = u_n - 1
1) احسب v₁
2) بين ان المتتالية (v_n)_n≥1 هي متتالية هندسية يجب تحديد اساسها
3) حدد v_n ثم u_n بدلالة n.

تصحيح

1) v₁=u₁-1=3-1=2.
2) لدينا v_n+1=u_n+1-1=-3u_n+4-1
=-3u_n+3=-3(u_n-1)=-3v_n
اذن (v_n)_n≥1 متتالية هندسية اساسها -3
3) نحدد v_n بدلالة n
(u_n)_n≥1 متتالية هندسية اذن v_n=v₁.(-3)^n-1
ومنه فان v_n=2.(-3)^n-1 وبما ان v_n=u_n-1
فان u_n=v_n+1 اذن u_n=2.(-3)^n-1+1.

تمرين 3 tp

لتكن (u_n) متتالية هندسية اساسها 8 و u₀ = 1
نعتبر (v_n) متتالية عددية بحيث

vn=	1	un + 2
	4

1) احسب v₀.
2) بين ان المتتالية (v_n) متتالية حسابية.
3) حدد v_n ثم u_n بدلالة n.

تصحيح

v0 =	1	u0 + 2 =	1	1 +2 (1
	4		4

v0 =	9	اذن
	4

2) نبين ان (v_n) متتالية حسابية

vn+1 =	1	un+1 +2	=	1	(un + 8) +2
	4			4

=	1	un + 2 +2	= [	1	un + 2] + 2
	4			4

اذن v_n+1=v_n+2 وهذا يعني ان (v_n) متتالية حسابية اساسها 2
3) نحسب v_n بدلالة n
بما ان (v_n) متتالية حسابية فان v_n=v₀+2n

vn =	9	+ 2n
	4

(v_n) متتالية حسابية اساسها 8
اذن u_n=u₀+8n ومنه فان u_n=1+8n.