تمرين 1 tp

احسب الحد الثاني والثالث لمتتالية هندسية اساسها 3 وحدها الاول 1.

تصحيح

نرمز مثلا للحد الاول ب u₀
(يمكن اعتبار u₁ كحد اول )
1) لدينا u₀ = 1 نحسب u₁
نعلم ان u_n+1 = qu_n اذن u₁ = qu₀
اي u₁ = 3.1 ومنه فان u₁=3.

2) الحد الثالث u₂
u₂ = qu₁ اي u₂ = 3.3 = 9
ومنه فان u₂ = 9
3) الحد الخامس u₄
u₄ = qu₃ نحسب أولا u₃
u₃ = qu₂ اي u₃ = 3.9 = 27
اذن u₄ = 3.27
وبالتالي الحد الخامس u₄ = 81.

تمرين 2 tp

(u_n) متتالية هندسية حدها الاول u₀=7 واساسها 2
احسب u₅.

تصحيح

(u_n) متتالية هندسية اذن u_n=u₀qⁿ
اذن u₅=7.2⁵=224 ومنه فان u₅=224.

تمرين 3 tp

احسب اساس متتالية هندسية حدها الاول 4 وحده الثاني 20

تصحيح

نرمز مثلا للحد الاول ب u₁
لدينا اذن u₁ = 4 والحد الثاني u₂ = 20
نعلم ان u₂ = qu₁ اذن 20 = 4q
ومنه فان q = 5.

تمرين 4 tp

لتكن (u_n)_n≥1 متتالية هندسية اساسها q
حيث q > 0 و u₃ = 75 و u₅ = 1875
احسب q والحد الأول u₁.

تصحيح

1) لدينا (u_n)_n≥1 متتالية هندسية أساسها q
اذن u_n = u_pq^n-p حيث 1 ≤ p ≤ n
ومنه فان u₅= u₃q^5-3 أي 1875 = 75q²
أي q² = 25 وبما أن q > 0 فان q = 5
2) لدينا u₃ = u₁q² اي 75 = 25.u₁
اذن u₁ = 3.

تمرين 5 tp

لتكن (u_n) متتالية هندسية أساسها q≠5 وحدها الأول u₀ = 2
1) اكتب u_n بدلالة n.
2) حدد من بين الأعداد التالية التي تمثل حدودا للمتتالية (u_n)
50 ; 100 ; 250.
3) نضع S = u₀+u₁+..+u_n
بين أن

تصحيح

1) (u_n) متتالية عندسية
اذن u_n = u₀qⁿ ومنه فان u_n = 2×5ⁿ
2) يعتبر عدد حقيقي x حدا للمتتالية (u_n)
اذا وجد عدد طبيعي n بحيث x = 2×5ⁿ
(a) 50 = 2×5ⁿ ⇔ 25 = 5ⁿ ⇔ 5² = 5ⁿ اذن n = 2 وبالتالي 50 يعتبر حدا للمتتالية (u_n)
(b) 100 = 2×5ⁿ ⇔ 50 = 5ⁿ
العدد n لا ينتمي الى المجموعة IN اذن 100 ليس حدا للمتتالية (u_n).

(c) 250 = 2×5ⁿ ⇔ 125 = 5ⁿ ⇔ 5³= 5ⁿ اذن n = 3
وبالتالي 250 يعتبر حدا للمتتالية (u_n)
3) S = u₀+u₁+..+u_n
عدد حدود هذا المجموع n-0+1 = n+1.