Exercice 1 tp

Soient (u_n)_n∈IN une suite définie par
u_n+1 = 2u_n + 1 tel que n∈IN et u₀ = 3
et (v_n)_n∈IN une suite définie par
v_n = u_n + 1.
1) Calculer v₀.
2) Montrer que (v_n) est une suite géométrique.
3) Déterminer v_n et u_n en fonction de n.

Correction

1) On a v₀ = u₀ + 1 = 3+1 = 4
2) On a v_n = u_n + 1 donc v_n+1 = u_n+1 + 1
ou encore v_n+1 = (2u_n + 1) + 1 = 2(u_n + 1)
Puisque u_n + 1 = v_n alors v_n+1 = 2v_n ainsi (v_n) est une suite géométrique de raison q=2 et v₀=4
3) Puisque (v_n) est une suite géométrique
alors v_n=v₀qⁿ et donc v_n=4.2ⁿ
v_n=u_n+1 donc u_n=v_n-1
ainsi u_n=4.2ⁿ-1.

Exercice 2 tp

Soient (u_n)n≥1 une suite définie par
u_n+1=-3u_n+4 et u₁=3
et (v_n) une suite définie par v_n=u_n-1.
1) Calculer v₁.
2) Montrer que (v_n) est une suite géométrique, sa raison doit être déterminée.
3) Déterminer v_n et u_n en fonction de n.

Correction

1) On a v_n = u_n - 1
donc v₁ = u₁ - 1 = 3-1 = 2

2) On a v_n+1 = u_n+1 - 1
donc v_n+1 = -3u_n + 4 - 1
= -3u_n + 3 = -3(u_n - 1) = -3v_n
ainsi (v_n)n≥1 est une suite géométrique de raison -3
3) On calcule v_n en fonction de n
Puisque (v_n) est une suite géométrique
alors v_n = v₁q^n-1 ou encore v_n = 2.(-3)^n-1
v_n = u_n - 1 donc u_n = v_n + 1
ainsi u_n = 2.(-3)^n-1 + 1.

Exercice 3 tp

Soient (u_n) une suite arithmétique de raison 8 et u₀=1
et (v_n) une suite définie par

1) Calculer v₀
2) Montrer que (v_n) est une suite arithmétique
3) Déterminer v_n et u_n en fonction de n.

Correction

1) On calcule v₀

2) On a

ou encore

donc v_n+1 = v_n + 2 et cela signifie que (v_n) est une suite arithmétique de raison 2

3) On calcule v_n en fonction de n
Puisque (v_n) est une suite arithmétique de raison 2 alors
v_n = v₀ + 2n ou encore

Puisque (u_n) est une suite arithmétique de raison 8 alors
u_n=u₀+8n ainsi u_n=1+8n.