Généralités sur les suites (4)
Exercice 1 tp
Calculer le deuxième terme; le troisième et le cinquième terme d'une suite géométrique de raison 3 et du premier terme 1.
Correction
On désigne par (un)n≥0 cette suite
1) Deuxième terme
puisque la suite est définie pour n≥0 alors le premier terme u0 = 1
on sait que un+1 = qun
donc le deuxième terme u1 = qu0
ou encore u1 = 3.1
ainsi u1 = 3.
2) Troisième terme u2 = qu1 = 3.3 = 9
3) Cinquième terme u4 = qu3
on calcule u3
u3 = qu2 = 3.9=27
ainsi u4 = 3.27 = 81 alors u4 = 81
Autre méthode : (un) est une suite géométrique
donc un = u0qn ainsi u4=1.34=81.
Exercice 2 tp
Soit (un)n≥0 une suite géométrique de raison 2 et u0=7
Calculer u5.
Correction
(un)n≥0 est une suite géométrique
donc un = u0qn
donc u5 = 7.25 ainsi u5 = 224.
Exercice 3 tp
Calculer la raison d'une suite géométrique son premier terme 4 et le deuxième terme 20
Correction
On pose u1 = 4 donc u2 = 20
On a u2 = qu1
ou encore 20 = 4q donc q = 5.
Exercice 4 tp
Soit (un) une suite géométrique de raison 2 et son premier terme u0=7 Calculer u5.
Correction
(un) est une suite géométrique donc
un = u0qn
ainsi u5 = 7.25 = 224
alors u5 = 224.
Exercice 4 tp
Soit (un)n≥1 une suite géométrique de raison q postive, u3=75 et u5= 1875
Calculer q et u1.
Correction
1) (un)n≥1 une suite géométrique de raison q, donc
un= upqn-p , 1 ≤ p < n
ainsi u5= u3q5-3
ou encore 1875 = 75q²
ou encore q² = 25
q > 0 donc q=5
2) on a u3 = u1q²
ou encore 75 = 25 u1
donc u1=3.
Exercice 5 tp
Soit (un) une suite géométrique de raison q≠5 et du premier terme u0 = 2
1) Ecrire un en fonction de n
2) Déterminer parmi les nombres suivants qui sont des termes de la suite (un)
50 ; 100 ; 250.
3) On pose S = u0+u1+..+un
Montrer
| S = | 5n+1-1 |
| 2 |
تصحيح
1) (un) est une site géométrique
donc un = u0qn
Ainsi un = 2×5n
2) Un nombre x est un terme de la suite (un)
s'il existe un entier naturel n tel que x = 2×5n
(a) 50 = 2×5n ⇔ 25 = 5n ⇔ 5² = 5n donc n = 2 ainsi 50 est un terme de la suite (un).
(b) 100 = 2×5n ⇔ 50 = 5n
Le nombre n n'appartient pas à IN donc 100 n'est pas un terme de la suite (un)
(c) 250 = 2×5n ⇔ 125 = 5n ⇔ 5³= 5n donc n = 3
Ainsi 250 est un terme de la suite (un)
3) S = u0+u1+..+un
n-0+1 = n+1 est le nombre de terme de S.
| S = u0 | 1-qn+1 | = 2 | 1-5n | = | 5n-1 |
| 1-q | -4 | 2 |