1- الدالة الاسية النبيرية

1.1 تعريف وخاصيات

1.1.1 تعريف

الدالة الاسية النبيرية ونرمز لها ب exp الدالة الوحيدة التي تحقق ثلاث شروط
(a) الدالة exp قابلة للاشتقاق على IR.
(b) الدالة exp تساوي دالتها المشتقة (exp)'
أي لكل x∈IR لدينا (exp)'(x)= exp(x).
(c) exp(0)=1.

بالاضافة الى ذلك الدالة exp موجبة قطعا
ومعرفة من IR نحو ]0;+∞[.

1.1.2 نتائج

1) ∀x∈IR: exp'(x)=exp(x).
2) الدالة exp تزايدية قطعا على IR.

1.1.3 خاصية

ليكن x∈IR و y∈]0;+∞[.
exp(x)=y ⇔ x=ln(y).

امثلة

1) ليكن y∈]0;+∞[ بحيث exp(-2)=y.
exp(-2)=y ⇔ ln(y)=-2.
2) نعلم أن ln1=0 اذن ln(1)=0 ⇔ exp(0)=1.
3) نعلم أن lne=1 اذن ln(e)=1 ⇔ exp(1)=e.

1.2 الكتابة e^x وخاصيات

1.2.1 الرمز exp والكتابة e^x

1) ليكن n∈IN.
nln(e)=n ⇔ ln(eⁿ)=n
⇔eⁿ=exp(n)
اذن لكل n∈IN لدينا eⁿ=exp(n)
ويمكن تعميم هذه النتيجة على IR.
2) لكل x∈IR لدينا exp(x)=e^x.

1.2.2 خاصيات

ليكن x و y عددين حقيقيين و n∈IN.

تمرين 1 tp

حل في IR المعادلات التالية
1) e^x=5.
2) e^x=-3.
3) (e^x-2)(e^x+4)=0.

تصحيح

1) المعادلة e^x=5 معرفة في IR. ليكن x∈IR
e^x=5 ⇔ x=ln5.
اذن S={ ln5 }.
2) المعادلة e^x=-3 مستحيلة
لان لكل x∈IR لدينا e^x>0 ولدينا -3 سالب
اذن S=∅.

3) المعادلة (e^x-2)(e^x+4)=0 معرفة على IR
لأن لكل x∈IR لدينا (e^x-2)∈IR و (e^x+4)∈IR.
ليكن x∈IR
(e^x-2)(e^x+4)=0 ⇔ (e^x-2=0 أو e^x+4=0)
⇔ (e^x=2 أو e^x=-4).
بالنسبة للمعادلة e^x=-4 فهي مستحيلة.
والمعادلة e^x=2 تكافئ x=ln2
وبالتالي مجموعة حلول المعادلة (e^x-2)(e^x+4)=0
S={ln2}.