تمرين 1 tp

حل في IR المعادلات التالية
1) e^x+4=1.
2) e^3x+1-e^x+5=0.
3) (e^x)²-3e^x+2=0

تصحيح

1) المعادلة e^x+4=1 معرفة في IR. ليكن x∈IR
e^x+4=1 ⇔ e^x+4=e⁰ ⇔ x+4=0 ⇔x=-4
اذن S={-4}.

2) المعادلة e^3x+1-e^x+5=0 معرفة على IR
لأن لكل x∈IR لدينا e^3x+1∈IR و e^x+5∈IR.
ليكن x∈IR
e^3x+1-e^x+5=0 ⇔ e^3x+1=e^x+5
⇔ 3x+1=x+5 ⇔ 3x-x=5-1
⇔ 2x=4 ⇔ x=2.
وبالتالي S={2}.

3) المعادلة (e^x)²-3e^x+2=0 معرفة في IR.
نضع e^x=X نحصل على المعادلة التالية
X²-3X+2=0 (*)
ونلاحظ انها معادلة من الدرجة الثانية وبذلك يمكن استعمال المميز.
Δ=b²-4ac=(-3)²-4.2=1>0
اذن المعادلة (*) تقبل حلين مختلفين.

اذن X₁=1 و X₂=2
المطلوب تحديد قيم الحرف الصغير x.

نعلم ان X=e^x
الحالة الاولى
X₁=1 ⇔ e^x=1 ⇔ x=ln(1)=0.
الحالة الثانية
X₂=4 ⇔ e^x=2 ⇔ x=ln(2)
وبالتالي S={0;ln(2)}.

تمرين 2 tp

حل في IR المتراجحات التالية
1) e^x<1.
2) e^x≥3.
3) e^x+7>e^2x.

تصحيح

1) المتراجحة e^x<1 معرفة على IR. ليكن x∈IR
e^x<1 ⇔ ln(e^x)<ln1
⇔ x < 0 ⇔ x∈]-∞;0[
اذن S=]-∞;0[.
2) المتراجحة e^x≥3 معرفة على IR. ليكن x∈IR
e^x≥3 ⇔ lne^x≥ln3
⇔ x≥ln3 ⇔x∈[ln3;+∞[
اذن S=[ln3;∞[.

3) المتراجحة e^x+7>e^2x معرفة على IR.
ليكن x∈IR
e^x+7>e^2x ⇔ x+7>2x
⇔ x-2x>-7 ⇔ -x>-7
⇔ x<7 ⇔ x∈]-∞;7[
اذن S=]-∞;7[.