1- La fonction exponentielle népérien

1.1 Définition et propriétés

1.1.1 Définition

La fonction exponentielle népérien notée exp est l'unique fonction telle que
(a) La fonction exp est dérivable sur IR.
(b) (∀x∈IR): exp'(x)=exp(x).
(c) exp(0)=1.

De plus la fonction exp est définie de IR vers ]0;+∞[ et strictement positive.

1.1.2 Résultat

1) ∀x∈IR): exp'(x)=exp(x).
2) La fonction exp est strictement croissante sur IR.

1.1.3 Propriété

Soient x∈IR et y∈]0;+∞[.
exp(x)=y ⇔ x=ln(y).

Exemples
1) Soit y∈]0;+∞[ tel que exp(-2)=y.
exp(-2)=y ⇔ ln(y)=-2.
2) On a ln1=0 donc ln(1)=0 ⇔ exp(0)=1.
3) On a lne=1 donc lne=1 ⇔ exp(1)=e.

1.2 L'écriture e^x et propriétés

1.2.1 Le symbole exp et l'écriture e^x

1) Soit n∈IN.
nln(e)=n ⇔ ln(eⁿ)=n
⇔ eⁿ=exp(n)
donc (∀n∈IN) on a eⁿ=exp(n)
Ce résultat peut être généralisé sur IR.
2) Pour tout x∈IR on a exp(x)=e^x

1.2.2 Propriétés

Soient x et y deux nombres réels et n∈IN.

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les équations suivantes
1) e^x=5.
2) e^x=-3.
3) (e^x-2)(e^x+4)=0.

Correction

1) L'équation e^x=5 est définie sur IR. Soit x∈IR
e^x=5 ⇔ x=ln5
donc S={ ln5 }.
2) L'équation e^x=-3 est imposible car pour tout x∈IR on a e^x>0
donc S=∅.

3) L'équation (e^x-2)(e^x+4)=0 est définie sur IR
car (∀x∈IR): (e^x-2)∈IR et (e^x+4)∈IR.

Soit x∈IR
(e^x-2)(e^x+4)=0 ⇔ (e^x-2=0 ou e^x+4=0)
⇔ (e^x=2 ou e^x=-4).
L'équation e^x=-4 est impossible.
L'équation e^x=2 signifie x=ln2
ainsi l'ensemble de solutions de l'équation
(e^x-2)(e^x+4)=0
S={ln2}.