Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les équations suivantes
1) e^x+4=1.
2) e^3x+1-e^x+5=0.
3) (e^x)²-3e^x+2=0.

Correction

1) L'équation e^x+4=1 est définie sur IR. Soit x∈IR
e^x+4=1 ⇔ e^x+4=e⁰ ⇔ x+4=0 ⇔x=-4
donc S={ -4 }.

2) L'équation e^3x+1-e^x+5=0 est définie sur IR
car pour tout x∈IR on a e^3x+1∈IR et e^x+5∈IR.
Soit x∈IR
e^3x+1-e^x+5=0 ⇔ e^3x+1=e^x+5
⇔ 3x+1=x+5 ⇔ 3x-x=5-1
⇔ 2x=4 ⇔ x=2.
ainsi S={2}.

3) L'équation (e^x)²-3e^x+2=0 est définie sur IR.
Si on pose e^x=X on obtient une équation
du second degré X²-3X+2=0 (*)
Δ=b²-4ac=(-3)²-4.2=1>0
donc l'équation (*) admet deux solutions

donc X₁=1 et X₂=2
mais ce qui est demandé est les valeurs de x.

On a X=e^x
Premier cas
X₁=1 ⇔ e^x=1
⇔ x=ln(1)=0

Deuxième cas
X₂=2 ⇔ e^x=2
⇔ x=ln(2)
alors S={0;ln(2)}.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR les inéquations suivantes
1) e^x<1.
2) e^x≥3.
3) e^x+7>e^2x.

Correction

1) L'inéquation e^x<1 est définie sur IR. Soit x∈IR
e^x<1 ⇔ ln(e^x)<ln1

⇔ x<0 ⇔ x∈]-∞;0[
donc S=]-∞;0[.

2) L'inéquation e^x≥3 est définie sur IR. Soit x∈IR
e^x≥3 ⇔ ln(e^x)≥ln3
⇔ x≥ln3 ⇔ x∈[ln3;+∞[
donc S=[ln3;∞[.

3) L'équation e^x+7>e^2x est définie sur IR.
Soit x∈IR
e^x+7>e^2x ⇔ x+7>2x
⇔ x-2x>-7 ⇔ -x>-7
⇔ x<7 ⇔ x∈]-∞;7[
donc S=]-∞;7[.