تمرين 1 tp

حل في IR المتراجحتين التاليتين
1) (e^x-1)(e^x-2)<0.
2) (e^x)²-e^x-2≥0.

تصحيح

1) المتراجحة (e^x-1)(e^x-2)<0 معرفة على IR
لأن لكل x∈IR
لدينا (e^x-1)∈IR و (e^x-2)∈IR.

ليكن x∈IR.
أولا نحل المعادلة (e^x-1)(e^x-2)=0.
(e^x-1)(e^x-2)=0
⇔ (e^x-1=0 أو e^x-2=0)
⇔ (e^x=1 أو e^x=2)
⇔ (x=ln1 أو x=ln2)
⇔ x=0 أو x=ln2.

ثانيا ندرس اشارة الجداء (e^x-1)(e^x-2).
(a) e^x-1≥0 ⇔ e^x≥1 ⇔ x≥ln1=0
اذن e^x-1≤0 ⇔ x≤0.

(b) e^x-2≥0 ⇔ e^x≥2 ⇔ x≥ln2
اذن e^x-2≤0 ⇔ x≤ln2.

اذن مجموعة حلول المتراجحة
(e^x-1)(e^x-2)<0.
S=]-∞;0]∪[ln2;+∞[.

2) المتراجحة (e^x)²-e^x-2≥0 معرفة على IR.
نضع X=e^x ونحصل على المتراجحة
X²-X-2≥0
أولا نحل المعادلة X²-X-2=0 حيث X>0
Δ=(-1)²-4.(-2)=1+8=9>0
المعادلة اذن تقبل حلين مختلفين

يعني X₁=-1 و X₂=2.

X₁=-1 لا يمكن اذن X=2
ثانيا ندرس اشارة X²-X-2 في ]0;+∞[.

X²-X-2≥0 ⇔ X∈[2;+∞[
وبما ان X=e^x فان
X≥2 ⇔ e^x≥2
⇔ x≥ln(2)
⇔ x∈[ln(2);+∞[
وبالتالي S=[ln2;+∞[.

طريقة ثانية
لدينا X²-X-2=(X+1)(X-2)
وبما أن X=e^x
فان (e^x)²-e^x-2 =(e^x+1)(e^x-2)
لكل x∈IR لدينا e^x+1>0
اذن يكفي دراسة اشارة e^x-2 ومنه فان
e^x-2≥0 ⇔ e^x≥2
⇔ x≥ln(2) ⇔ x∈[ln(2);+∞[
وبالتالي S=[ln(2);+∞[.