Exercice 1 tp

Résoudre dans IR les deux inéquations suivantes
1) (e^x-1)(e^x-2)<0.
2) (e^x)²-e^x-2≥0.

Correction

1) L'équation (e^x-1)(e^x-2)<0 est définiez sur IR
car pour tout x∈IR
on a (e^x-1)∈IR et (e^x-2)∈IR.

Soit x∈IR.
Premièrement on résout l'équation
(e^x-1)(e^x-2)=0.
(e^x-1)(e^x-2)=0
⇔ (e^x-1=0 ou e^x-2=0)
⇔ (e^x=1 ou e^x=2)
⇔ (x=ln1 أو x=ln2)
⇔ x=0 ou x=ln2.

Deuxièment on étudie le signe du produit
(e^x-1)(e^x-2).
(a) e^x-1≥0 ⇔ e^x≥1 ⇔ x≥ln1=0
donc e^x-1≤0 ⇔ x≤0.

(b) e^x-2≥0 ⇔ e^x≥2 ⇔ x≥ln2
donc e^x-2≤0 ⇔ x≤ln2.

donc l'ensemble des solutions de l'inéquation
(e^x-1)(e^x-2)<0.
S=]-∞;0]∪[ln2;+∞[

2) L'inéquation (e^x)²-e^x-2≥0 est définie sur IR.
On pose X=e^x on obtient l'inéquation
X²-X-2≥0
Premièrement on résout l'équation X²-X-2=0 tel que X>0.
Δ=(-1)²-4.(-2)=1+8=9>0
l'équation admzt donc deux solutions différentes.

signifie X₁=-1 et X₂=2.

X₁=-1 est impossible donc X=2.
Deuxièment on étudie le signe de X²-X-2 dans ]0;+∞[.

X²-X-2≥0 ⇔ X∈[2;+∞[
Puisque X=e^x alors
X≥2 ⇔ e^x≥2
⇔ x≥ln(2)
⇔ x∈[ln(2);+∞[
ainsi S=[ln2;+∞[.

Deuxième méthode
On a X²-X-2=(X+1)(X-2).
Puisque X=e^x
alors (e^x)²-e^x-2 =(e^x+1)(e^x-2)
(∀x∈IR) on a e^x+1>0
il suffit donc d'étudier le signe de e^x-2
et donc e^x-2≥0 ⇔ e^x≥2
⇔ x≥ln(2) ⇔ x∈[ln(2);+∞[
ainsi S=[ln(2);+∞[.