Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'équation suivantes
(E): (e^x)²-5e^x+4=0.

Correction

L'équation (E) est définie sur IR
Si on pose e^x=X on obtient une équation
du second degré X²-3X+2=0
Δ=b²-4ac=(-3)²-4.2=1>0
donc l'équation admet deux solutions

donc X₁=1 et X₂=2
mais ce qui est demandé est les valeurs de x.

On a X=e^x
Premier cas
X₁=1 ⇔ e^x=1 ⇔ x=ln(1)=0
Deuxième cas
X₂=4 ⇔ e^x=2 ⇔ x=ln(2)
alors S={0;ln(2)}

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR les inéquations suivantes
1) e^x < 1
2) e^x ≥ 3

Correction

1) L'inéquation e^x < 1 est définie sur IR
e^x < 1 ⇔ ln(e^x) < ln1
⇔ x < 0 ⇔ x∈]- ∞ ; 0[
donc S = ]- ∞ ; 0[

2) L'inéquation e^x ≥ 3 est définie sur IR
e^x ≥ 3 ⇔ ln(e^x) ≥ ln3
⇔ x ≥ ln3 ⇔ x∈[ln3 ; +∞[
donc S=[ln3;∞[.

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(e^x)²-e^x-2≥0

Correction

L'inéquation (e^x)²-e^x-2≥0 est définie sur IR
On pose X=e^x> on obtient l'inéquation
X²-X-2≥0
Premièrement on résout l'équation
X²-X-2=0 tel que X>0
Δ=(-1)²-4.(-2)=1+8=9>0

signifie X₁=-1 et X₂=2
Pour X₁=-1 ce n'est pas possible donc X=2

Signe du trinôme X²-X-2 sur ]0;+∞[

X²-X-2≥0 ⇔ X∈[2;+∞[
Puisque X=e^x alors
X≥2 ⇔ e^x≥2
⇔ x≥ln(2)
ainsi S=[ln2;+∞[.

Deuxième méthode
X²-X-2=(X+1)(X-2)
=(e^x+1)(e^x-2)
On a e^x+1>0
donc il suffit d'étudier le signe de e^x-2 ainsi
e^x-2≥0 ⇔ e^x≥2
⇔ x≥ln(2)
et donc S=[ln(2);+∞[.