(3) الاشتقاق والدوال الأصلية
1.2 العمليات على الاشتقاق
1.2.1 مشتقة المجموع
خاصية
لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال I.
الدالة f + g قابلة للاشتقاق على المجال I ولدينا لكل x∈IR
| (f + g) '(x) | = | f '(x) + g '(x) |
مثال 1
لتكن f دالة عددية معرفة ب f(x)=x²+x.
حدد f'(x).
تصحيح
f مجموع دالتين (x→x² و x→x)
قابلتين للاشتقاق على IR
اذن f قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=(x²+x)'=(x²)'+(x)'=2x+1
وبالتالي (∀x∈IR) f'(x)=2x+1.
مثال 2
لتكن g دالة عددية معرفة كما يلي
g(x)=x³+x²+x+2.
حدد f'(x).
تصحيح
g مجموع دوال قابلة للاشتقاق على IR
اذن g قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR.
g'(x)=(x³+x²+x+2)'
=(x³)'+(x²)'+(x)'+(2)'
=3x²+2x+1+0
وبالتالي (∀x∈IR) f'(x)=3x²+2x+1.
1.2.2 مشتقة الجداء
خاصية
لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال I
و k∈IR و n∈IN*
الدوال k.f و f×g و f n هي أيضا دوال قابلة للاشتقاق على المجال I ولدينا لكل x∈I
| (k.f) '(x) | = | k.f '(x) |
| (f g) '(x) | = | f '(x)g(x) + f(x)g '(x) |
| (fn)'(x) | = | nfn-1(x)f'(x) |
مثال 1
لتكن f دالة عددية معرفة ب f(x)=4x².
حدد f'(x) حيث x∈IR.
تصحيح
f هي جذاء 4 و x² اذن f قابلة للاشتقاق على IR.
ليكن x∈IR
f'(x)=(4x²)'=4(x²)'=4.(2x)
وبالتالي (∀x∈IR) f'(x)=8x.
مثال 2
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=-5x³+ 2x.
حدد f'(x).
تصحيح
f هي مجموع دالتين قابلتين للاشتقاق على IR
x→-5x³ و x→2x
اذن f قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=(-5x³+2)'=(-5x³)'+(2x)'
= -5.(x³)'+2=-5.3x²+2
وبالتالي (∀x∈IR) f'(x)=-15x²+2.
مثال 3
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=x³+5x²+7x+13. حدد f'(x).
تصحيح
f هي مجموع دوال قابلة للاشتقاق على IR
اذن قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=(x³+5x²+7x-13)'
=(x³)'+(5x²)'+(7x)-(13)'
=3x²+5(2.x)+7+0
وبالتالي (∀x∈IR) f'(x)=3x²+10x+7.
مثال 4
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=(x²+5x)(4x-1). حدد f'(x).
تصحيح
f هي جداء دالتين قابلتين للاشتقاق على IR اذن f قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR.
f'(x)=[(x²+5x)(4x-1)]'
=(x²+5x)'(4x-1)+(x²+5x)(4x-1)'
=((2.x+5)(4x-1)+(x²+5x).4
=(8x²-2x+20x-5)+(4x²+20x)
=8x²+18x-5+4x²+20x
وبالتالي (∀x∈IR) f'(x)=12x²-38x-5.