(4) الاشتقاق والدوال الأصلية
خاصية
كل دالة حدودية قابلة للاشتقاق على IR.
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=(x³-3x)(1-5x). حدد f'(x).
تصحيح
f هي جداء حدوديتين اذن قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=(x³-3x)'(1-5x)+(x³-3x)(1-5x)'
=(3x²-3)(1-5x)+(x³-3x).(-5)
=(3x²-15x³-3+15x)+(-5x³+15x).
وبالتالي (∀x∈IR) f'(x)=-20x³+3x²+30x-3.
تمرين 2 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
f(x)=(5x²-1)². حدد f'(x).
تصحيح
f هي مربع حدودية اذن f قابلة للاشتقاق على IR. ليكن x∈IR
f'(x)=[(5x²-1)²]'=2(5x²-1)'(5x²-1)2-1
=2(5.2x)(5x²-1)=(20x.5x²)-20x
=100x1+2-20x
وبالتالي (∀x∈IR) f'(x)=100x3-20x.
1.2.3 مشتقة المقلوب
خاصية
لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال I.
اذا كانت g لا تنعدم على I فان مقلولها قابل للاشتقاق على I.
| (∀x∈I) ( | 1 | )'(x)= | - g '(x) |
| g | (g(x))² |
بالاضافة الى ذلك فان خارج f على g قابل للاشتقاق على I ولكل x∈I.
| ( | f | )'(x) = | f'(x)g(x) - f(x)g'(x) |
| g | (g(x))² |
مثال 1
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | 1 |
| x²+3 |
حدد f '(x) حيث x∈D.
تصحيح
الدالة x→x²+3 لا تنعدم على IR
لأن
(∀x∈IR) x²≠- 3 بالاضافة الى ذلك قابلة للاشتقاق على IR لانها حدودية وبالتالي f قابلة للاشتقاق على IR.
ليكن x∈IR
| f'(x) = ( | 1 | )' = | -(x²+3)' |
| x²+3 | (x²+3)² |
وبالتالي لكل x∈IR
| f'(x) = | -2x |
| (x²+3)² |
خاصية
كل دالة جذرية قابلة للاشتقاق على مجموعة تعريفها.
تمرين 3 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | 5x-1 |
| 2x+4 |
حدد f '(x) حيث x∈D.
تصحيح
f دالة جذرية معرفة اذن اذا كان
2x+4≠0.
2x+4=0 ⇔ 2x=-4 ⇔ x=-2
ومنه فان الدالة f قابلة للاشتقاق على D=IR\{-2}.
ليكن x∈D
| f'(x) = | (5x-1)'(2x+4) - (5x-1)(2x+4)' |
| (2x+4)² |
| = | 5(2x+4) - (5x-1)(2) |
| (2x+4)² |
| = | 10x+20-10x+2 |
| (2x+4)² |
ومنه فان لكل x∈IR\{-2}
| f '(x) = | 22 |
| (2x+4)² |