1.3 Monotonie d'une fonction et extremum

1.3.1 Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
f est caroissante sur I ⇔ (∀x∈I: f'(x)≥0).
f est décaroissante sur I ⇔ (∀x∈I: f'(x)≤0).
f est constante sur I ⇔ (∀x∈I: f'(x)=0).

f est strictement caroissante sur I
⇔ (∀x∈I: f'(x)>0).
f est strictement décaroissante sur I
⇔ (∀x∈I: f'(x)<0).

Exemple 1
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²-4x.
1) Déterminer f'(x).

2) (a) Etudier le signe de f' sur IR.
(b) Déduire la monotonie de f et tracer son tableau de variation.

Correction
f est une fonction polynôme donc dérivable sur IR. Soit x∈IR
f'(x)=(x²-4x)'=2x-4
donc (∀x∈IR): f'(x)=2x-4.

Signe de f'(x) sur IR

donc f'(x)<0 si x<2 et cela signifie que f est strictement décroissante sur ]-∞;2].
f'(x)>0 si x>2 et cela signifie que f est strictement croissante sur [2;+∞[.

On calcule les limites pour tracer le tableau de variations de f