(11) الاشتقاق والدوال الأصلية
تمرين 1 tp
لتكن f دالة عددية معرفة كما يلي
| f(x) = | 2x - 1 |
| x - 1 |
و (C) المنحنى الممثل لها في معلم متعامد ممنظم
(O;i→;j→).
1) حدد D مجموعة تعربف الدالة f
2) احسب النهايات التالية
lim - ∞ |
f(x) | lim + ∞ |
f(x) |
lim 1- |
f(x) | lim 1+ |
f(x) |
واستنتج مقاربات المنحنى (C)
3) احسب f'(x) حيث x∈D
4) ادرس رتابة الدالة f وانشئ جدول تغيراتها
5) انشئ المقاربين والمنحنى (C)
تصحيح
1) f معرفة اذا كان x-1≠0 أي x≠1
اذن
D=IR\{1}=]-∞;1[∪]1;+∞[.
2) حساب النهايات وتحديد المقاربات
lim -∞ | f(x) = | lim -∞ | 2x | = 2 |
| x |
وهذا يعني أن المنحنى (C) يقبل مقاربا
معادلته y=2 بجوار -∞
lim +∞ |
f(x) = | lim +∞ |
2x | = 2 |
| x |
وهذا يعني أن المنحنى (C) يقبل مقاربا
معادلته y=2 بجوار +∞
لتحديد نهاية الدالة f عند 1 ندرس اشارة المقام x-1
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||
| x - 1 | - | || | + |
عندما (x → 1-) فان (x-1 → 0-)
| 1 | = - ∞ | بما أن |
| 0- |
lim 1- |
f(x) | = - ∞ | فان |
ومنه فان المستقيم (D): x=1 مقارب ل (C)
عندما (x → 1+) فان (x-1 → 0+).
| 1 | = + ∞ | بما أن |
| 0+ |
lim 1+ |
f(x) | = + ∞ | فان |
ومنه فان المستقيم (D): x = 1 مقارب ل (C)
3) f دالة جذرية اذن قابلة للاشتقاق على D
ليكن x∈D
| f '(x) = | (2x-1)'(x-1) - (2x-1)(x-1)' |
| (x - 1)² | |
| = | 2(x-1) - (2x-1)(1) |
| (x - 1)² | |
| = | 2x - 2 - 2x + 1 |
| (x - 1)² |
| f ' (x) = | -1 |
| (x - 1)² |
4) اشارة f '(x)
لدينا -1 < 0 و (x-1)² > 0
اذن (∀x∈IR \{1}) f '(x) < 0
وهذا يعني ان الدالة f تناقصية قطعا على ]-∞ ; 1[ وتناقصية قطعا كذلك على ]1 ; +∞[
جدول تغيرات الدالة f
| x | -∞ | 1 | +∞ | |||||
| f '(x) | - | || | - | |||||
| f | 2 | ↘ | -∞ | || | +∞ | ↘ | 2 |
5) لرسم المنحنى (C) يكفي تعيين قيم افاصيل مناسبة لبعض نقط المنحنى
